2024.2.16 鲜花

推歌

没有，不知道推啥，有投稿的咩？

两个入门的生成函数计数。

简单有标号无向连通图

[集训队作业2013] 城市规划。

设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个节点的无向连通图数目，\(g_i\) 表示 \(i\) 个节点的无向图数目，有

\[g_n=\sum_{i=1}^n\mathrm{C}_{n-1}^{i-1}f_ig_{n-i} \]

解释一下，就是枚举 \(1\) 号节点所在的连通块个数 \(i\)，然后从剩下的节点中任取 \(i-1\) 个点与 \(1\) 联通，其余的 \(n-i\) 个点随便连，这样保证了不重不漏。

将两边同时除以 \((n-1)!\)，有

\[\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n\frac{f_i}{(i-1)!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!} \]

发现这是一个卷积的形式，不妨令 \(f_0=0\)，于是设

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f_i}{(i-1)!}\\ G(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{g_i}{i!}\\ H(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{g_i}{(i-1)!} \end{aligned}\]

那么就有 \(H=F\cdot G\)，显然 \(F=H\cdot G^{-1}\)。然后就是 多项式求逆 + 卷积。

或者也可以设 \(G(x)\) 为 \(g\) 的 EGF，\(F(x)\) 为 \(f\) 的 EGF，那么就有 \(G^{\prime}=F^{\prime}G\rightarrow F=\int\frac{G^{\prime}}{G}\rightarrow F=ln(G)\)。

AC link 多项式求逆。

最大度数有限制的树计数

无聊的水题 I。

前置知识是 \(pr\ddot{u}fer\)序列（不要脸地引流）。

然后本题就转化成了值域为 \(1\sim n\)，出现次数最多的元素恰好出现 \(m-1\) 次，长度为 \(n-2\) 的序列计数。考虑恰好不好做，转化一下，变为 最多元素最多出现 \(m-1\) 次的序列个数 - 最多元素出现 \(m-2\) 次的序列个数。

考虑如何统计最多元素出现至多 \(m-1\) 次的序列个数。

因为是序列，元素顺序有关，考虑 EGF，对于每个元素，设其 EGF 为 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}\frac{x^i}{i!}\)，那么答案就是 \((n-2)![x^{n-2}]F^n(x)\)。

直接 快速幂 或者 ln+exp 即可做到 \(O(n\log^2 n)/O(n\log n)\)。

AC link1 快速幂，AC link2 ln+exp。（多项式这种东西 大常数单 \(\log\) 就是比 小常数双 \(\log\) 跑的快）

p

（两道题，放两张）

其实是不想写大分块才来写这个的，但没想到没多长时间就写完了，所以还是要去写大分块，(>_<)