HDU - 4372 Count the Buildings 组合数学 第一类斯特林数

第一类斯特林数

\[斯特林轮换式 S[n][k]表示将n个两两不同的元素，划分为k个非空圆排列的方案数 \]

递推式：

\[S[n][k] = S[n-1][k-1]+(n - 1)\cdot S[n-1][k] \]

边界：

\[S[n][0]=[n=0] \]

HDU 4372

题意：

有n座高分别为\(1\sim n\)的城市在一条水平线上，从左能看到\(F\)座城市，从右能看到B座城市，问有几种城市的排列方案。

题解：
首先最高的那座楼无论从左还是从右都会看到，因此最高的那座位置都是固定的。

从左看的\(F - 1\)座必然是高度递增的，因此我们可以把这\(F-1\)座楼分组，每组的最左端也就是每组的最高的那座楼。组内剩下的$ k - 1$ 座进行全排列有\((k - 1)!\) 种情况，相当于\(k\)个元素进行圆排列。对于每一组进行圆排列，又由于前\(F-1\)是升序，因此相当于再从\(F-1+B-1\)中选择\(F-1\)个。

因此

\[ans = \tbinom{F-1+B-1}{F-1} \cdot S[n-1][F-1+B-1] \]

ll C[2005][2005];
ll S[2005][2005];


void get_C()
{
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 2000; i++)
    {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1], C[i][j] %= MOD;
    }
}

void get_S() {
    S[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 2000; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            S[i][j] = S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j] % MOD, S[i][j] %= MOD;
    }
}

int main() {
    get_C();
    get_S();
    int T = readint();
    while (T--) {
        ll n = readll();
        ll f = readll();
        ll b = readll();
        if (f - 1 + b - 1 > n) {
            puts("0");
            continue;
        }
        ll res = C[f - 1 + b - 1][f - 1] * S[n - 1][f - 1 + b - 1];
        res %= MOD;
        Put(res);
        puts("");
    }
}