随笔分类 - 数论
摘要：P6860 象棋与马 杜教筛 题意 有一个无限大的棋盘，有一个马最初在$(0,0)$，它的每步可以走一个$a \times b$的矩形，即能够走到$(x \pm a,y \pm b),或者(x \pm b,y \pm a)$ 若马通过上述移动方式可以达到棋盘中任意一点，那么$p(a,b) = 1$，
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摘要：2020CCPC Weihai Site L.Clock Mater 数论，背包 题意 抽象出来就是给定$n$，构造出最大的$LCM(x_1 * x_2 *x_3....)$且$x_1 + x_2 + x_3 ... = n$ \[ 1\leq T \leq 30000\\ 1\leq b \leq
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摘要：BZOJ 4407 于神之怒加强版 莫比乌斯反演，线性筛 题意 给定$n,m，k$，求 \[ \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}gcd(i,j)^k mod(1e9 + 7) \] \[ 1\leq T \leq 2000\\ 1\leq n,m,k \leq 5e6
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摘要：P6786 GCDs & LCMs 数学推导 题意 给定一段序列$a$，要求从中找出一些数组成序列$b$满足： $b_i$是$b$中最大值或者存在一个位置$j$，使得$b_j > b_i$，且$b_i + b_j + gcd(b_i,b_j) = lcm(b_i,b_j)$ 并且希望这个$b$序列的
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摘要：GYM-100199H Cracking' RSA 数论，高斯消元求自由变元 题意 首先题目友好的给定一个$t$ ，再给定一个数$m$ 表示接下来有$m$ 个数，表示接下来的数字都由素数表中的前$t$个数组成。 从这$m$个数中选择一些子集，要求子集的元素乘积是完全平方数的子集的个数。 \[ 1 \
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摘要：CodeForces-731F Video Cards 数论，分块 题意 给出一个长度为$n$的数组$a$ ,在数组中选择一个元素作为$leading$ 。 其他元素可以减去任意大小。 问最大的【改变后的数组和】是多少。 数组要求满足：除了$leading$ 外的元素都是$leading$ 的倍数
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摘要：HNOI 2002 跳蚤 容斥，莫比乌斯反演 题意 一只跳蚤目前站在无限长的绳索中央，给出一张卡牌，上面有$n+1$ 个自然数，其中最后一个数字为$m$ 。 跳蚤可以选择卡牌给的数字跳任意次，只要最终能够到达左边$1$ 单位即可。 现在给定$n,m$ ，问有多少张卡牌可以满足要求 \[ n,m\le
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摘要：HDU-4726 Mophues 莫比乌斯反演 题意 多个询问，求$[1,m],[1,n]$ 中有多少对数的$GCD$ 的素因子个数小于$p$ \[ n,m,p\leq 5\cdot 10^5 ,q\leq 5000 \] 分析 将题意用数学语言表示即求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j
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摘要：Codeforces Round #665 (Div. 2) D. Maximum Distributed Tree 题意 给定一棵$n$ 个结点的树，对这棵树分配边权，使得这棵树的边权的乘积为$k$ ，且要求所有两点的简单路径边权之和最大。 \(k\) 以质因子的形式给出，有$m$ 个质因子 结果
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摘要：Codeforces Round #665 (Div. 2) C. Mere Array 题意 给定数组$a$ ,可以交换$a_i , a_j$ 当且仅当$Min | (a_i,a_j) $ ,其中$Min$ 为$a$ 数组的最小值 问能否通过交换使得数组$a$ 不降 分析 考虑需要交换的元素有哪些
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摘要：CF901B GCD of Polynomials 多项式 数论 题意 定义多项式的度$deg$ 为多项式的最高次数。对于多项式$A(x) = \sum_na_kxk$ 以及$B(x) = \sum_mb_kbk$ 有唯一的除法表示 \[ A(x) = B(x)\cdot D(x) + R(x) ,
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摘要：nCr * pq 求该表达式末尾0的个数。 显然至于2 5 的因子个数有关。 考虑预处理出每个数的2，5的因子个数，并统计前缀和（题个的组合数其实是阶乘） int _2[maxn], _5[maxn]; ll _s2[maxn], _s5[maxn]; int _count(int x, int y
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摘要：int prime[maxn]; int vis[maxn]; int euler_sieve(int n) { int cnt = 0; vis[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!vis[i]) prime[cnt++] = i; for (i
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摘要：根据斐波那契数列的通项公式可以进行如下推导。 注意到后面是等比数列可以O(1)求出。还要注意的问题是 1 / sqrt(5) 在模意义下处理用二次剩余模板处理出。以及预处理组合数。 当然，直接这样写虽然复杂度上没问题但还会T 考虑以下优化： 1.由于c很大，计算A^c，B^c时用欧拉降幂减少快速幂。
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摘要：ll w; struct num { ll x, y; }; num mul(num a, num b, ll p) { num ans = { 0,0 }; ans.x = ((a.x * b.x % p + a.y * b.y % p * w % p) % p + p) % p; ans.y =
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摘要：给定 a ,b ,c , d , x, y 求上式 0⩽a,b,c,d⩽3×106,0<x,y⩽109,a⩽b,c⩽d.首先对问题转化为枚举质因子，计算为每个公共质因子贡献的问题。（由唯一分解定理容易想到）规模为O（log x + log y）乘积就转化成了和的形式 只需求出此式（指数）然后快速幂即
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摘要：给定 x ，y 问有多少个k元组使得其gcd = x， sigma = y ， k随意 首先进行转化，相当于 有多少个k元组满足 gcd = 1，sigma = y / x 。 因此容易得出 y % x != 0 时，输出0 现在相当于计算有多少个gcd = 1 的组 使得sigma = y / x
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摘要：要求对一个数进行加法分解，问最多能分成多少个合数。 问最多的合数，那么结果必然是有 4， 6 ， 9 组成 考虑 n % 4的情况即可。 主要是要想到其他合数都可以用4，6，9组成 int main() { int Q = readint(); while (Q--) { ll n = readll
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摘要：求n！ 在base进制下的位数。 10进制下 Log10（x） 就是x的位数。 base进制下同理。 记得开double double pre[maxn]; void init() { pre[0] = log(1); for (int i = 1; i < maxn; i++) pre[i] =
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摘要：n <= 5e5 两种操作：1.询问 L ，R 能否通过修改一个数使得区间gcd为x 2. 修改某点的大小 首先联想到可以用线段树维护区间性质，单点修改。 如果判断1？ 如果区间中所有数都是x的倍数，那么只需修改任意一个数变为x就可以。 如果区间中大于一个数不是x的倍数，由于仅仅能修改一次，所以肯定
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