[BZOJ2839]集合计数

集合计数

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

输入格式

一行两个整数N,K

输出格式

一行为答案。

样例

样例输入

3 2

样例输出

6

数据范围与提示

样例说明

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

数据说明

对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;

咱也不知道为啥BZOJ上这题长这样

我是一个分不清交并集的人,对不起数学老师,如有错误,欢迎指正

基本思路

依旧一道数论题,组合数学,既然交集要定k,那最先想到的肯定是$C_n^k$,把它摆在这,显然不对,既然交集已经定下来了,我们就需要考虑用谁跟这些交集并,组成集合,交集定好为k了,那么就必须保证跟交集拼的这部分元素一定没有交集,然后的然后咱也不知道大佬们怎么就想到了容斥这个神奇的东西,对,这题需要容斥

要求剩下的为空集那肿么斥呢,都告诉你容斥了,那就好想了,其实

$\varnothing$=随便选的方法数-交集>=1的方法数+交集>=2的方案数……以此类推

这样的话最终答案就是$C_n^k*\varnothing$的方案数

接下来就是解决这个交集数>=i的方案数怎么求,我们用f[i]表示交集>=i的方案数,还是先定下$C_n^i$,但是此时并不需要剩下的一定为空集,那剩下的集合就随便拼就好了,那方案数就是$2^{2^{n-i}}$(就是2的2的n-i次幂,自己应该可以想到,就是先拼成集合,再把集合拼成集合),但是要注意这么拼出来可能会是空集拼上空集,这显然不符合题意,所以要-1,故最终

$f[i]=C_n^i*(2^{2^{n-i}}-1)$

关于一加一减那一块,你可以选择直接判i的奇偶或者加一个(-1)i就好了

提问:在求f[i]中的n是输入的n吗?我大概在这死了一节多课

答:并不是

思考一下,你拼空集的时候还剩下n个元素吗?显然不是,因为你前面已经定下了k个元素作为交集,那此时再选元素,显然不能同一个元素选两次,所以现在的n实际上应该是n-k

到此这题就搞出来了,然后就来讲讲我都WA过些啥

WA70

是我高看了取模这种东西,要知道取模之后不一定严格遵守取模之前的大小关系,所以就会出现全集的方案数小于后面某一的个方案数,这样的话,ans就会出负数了,然后磕了一节课,最后的解决方案是如果答案为负,加一个模数就好了

WA90

我更像个zz了,我数组开的1000000,然后就WA了

几点注意

关于那个$2^{2^{n-i}}$的求法,给$2^{n-i}$取模肯定就死翘翘了,不取模数据大了依旧死翘翘,那怎么解决呢?换个不影响结果的模数,这个时候就用到我不会的玩意了

图片截取自不认识的大佬博客我不会直接加链接,我现在学会了,已经加过去了

而我依旧zz,1000000007的欧拉函数怎么求?他是个质数,是个质数,那他的欧拉函数就是1000000006!!!!!!!!

long long记得开,求逆元可以用线性的

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #define ll long long
 5 #define maxn 1000100
 6 const long long mod1=1000000007;
 7 const long long mod2=1000000006;
 8 using namespace std;
 9 int n,k;
10 ll ny[maxn],jc[maxn],f[maxn];
11 ll ksm(ll a,ll b,ll c)
12 {
13     ll ans=1;
14     a=a%c;
15     while(b>0)
16     {
17         if(b&1)  ans=(ans*a)%c;
18         b=b>>1;
19         a=(a*a)%c;
20     }
21     return ans%c;
22 }
23 ll c(int n,int m)
24 {
25     if(n<m)  return 0;
26     if(n<mod1&&m<mod1)  return ((jc[n]*ny[m])%mod1*ny[n-m])%mod1;
27     return (c(n/mod1,m/mod1)*c(n%mod1,m%mod1))%mod1;
28 }
29 int main()
30 {
31     //freopen("3.in","r",stdin);
32     //freopen("WA.out","w",stdout);
33     scanf("%d%d",&n,&k);
34     jc[0]=1;
35     for(int i=1;i<=n;++i)  jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod1;
36     ny[n]=ksm(jc[n],mod1-2,mod1);
37     for(int i=n;i>=1;--i)  ny[i-1]=(ny[i]*i)%mod1;
38     int ls=n-k;
39     for(int i=0;i<=ls;++i)
40     {
41         ll mi=ksm(2,ls-i,mod2);
42         ll ch;
43         if(i&1)  ch=-1;
44         else  ch=1;
45         f[i]=(c(ls,i)*(ksm(2,mi,mod1)-1))%mod1;
46         f[i]*=ch;
47     }
48     ll tot=0;
49     for(int i=0;i<=ls;++i)
50     {
51         tot+=f[i];
52         tot=tot%mod1;
53     }
54     ll ans=(c(n,k)*tot)%mod1;
55     while(ans<0)  ans+=mod1;
56     printf("%lld\n",ans);
57     return 0;
58 }

 

posted @ 2019-07-05 12:09  hzoi_X&R  阅读(328)  评论(0编辑  收藏  举报