【BZOJ】1002: [FJOI2007]轮状病毒 递推+高精度

1002: [FJOI2007]轮状病毒

Description

给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒。

Input

第一行有1个正整数n。

Output

将编程计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

 

分析:开始想用排列搞搞。。发现里面判断边的端点是否重合才能得到几个外围的边的顶点个数。。发现很无力；

一部分题解说要使用生成树计数-Matrix-tree定理；

详见:周冬《生成树的计数及其应用》

得到Kirchhoff矩阵C(就是用原图的 度数矩阵D - 邻接矩阵A)之后，答案就是这个Kirchhoff矩阵C的任意一个n-1阶主子式(即去除第r行第r列剩余的矩阵)的行列式的值；

难点就是解这个n-1阶主子式。。(解是一个递推式，即F[n]与F[n-1]...的关系式)

一种方法是利用基本行变化和列变化来找到规律，有点慢。详见:vfleaking的题解

还有一种方法是按照某一行展开，但是这种简便方法，我并没有找到和第一种一样的式子。。

最后得到的递推式为: F[n] = 3*F[n-1] - F[n-2] + 2;F[1] = 1,F[2] = 5;

使用高精度预处理即可；

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<stack>
#include<set>
using namespace std;
#define rep0(i,l,r) for(int i = (l);i < (r);i++)
#define rep1(i,l,r) for(int i = (l);i <= (r);i++)
#define rep_0(i,r,l) for(int i = (r);i > (l);i--)
#define rep_1(i,r,l) for(int i = (r);i >= (l);i--)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MS1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m+1, r, rt << 1|1
//typedef __int64 ll;
template<typename T>
void read1(T &m)
{
    T x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    m = x*f;
}
template<typename T>
void read2(T &a,T &b){read1(a);read1(b);}
template<typename T>
void read3(T &a,T &b,T &c){read1(a);read1(b);read1(c);}
template<typename T>
void out(T a)
{
    if(a>9) out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int maxl = 1000;
const int ten[5]={1,10,100,1000,10000};
struct Biginter{
    int d[maxl]; // 最大数位只取四位，因为相乘不会爆int~~,并且每次构造对象时d[]一定要为0；
    Biginter(char *s){
        int len = strlen(s);
        d[0] = (len-1)/4+1;//每一个数组里面存四位，并且d[0]记录的是最多总的位数(下标)
        int i,j,k;
        for(i = 1;i <= d[0];i++) d[i] = 0;
        for(i = len-1;i >= 0;i--){
            j = (len-1-i)/4+1; //保存的下标;
            k = (len-1-i)%4;//在每一个下标保存中仍然要保存顺序;
            d[j] += ten[k]*(s[i]-'0');
        }
        while(d[0] > 1 && d[d[0]] == 0) d[0]--;    //可能就为0;
    }
    Biginter(){MS0(d);}//手动初始化为0
    void tostring(){  //输出后换行
        out(d[d[0]]);
        for(int i = d[0]-1;i > 0;i--){
            printf("%04d",d[i]);
        }
        puts("");
    }
};
bool operator <(const Biginter& a,const Biginter& b)
{
    if(a.d[0] != b.d[0]) return a.d[0] < b.d[0];
    for(int i = a.d[0];i >= 0;i--){
        if(a.d[i] != b.d[i]) return a.d[i] < b.d[i];
    }
    return false;// a== b
}
bool operator ==(const Biginter& a,const Biginter& b)
{
    if(a.d[0] != b.d[0]) return false;
    for(int i = a.d[0];i >= 0;i--){
        if(a.d[i] != b.d[i]) return false;
    }
    return true;
}
Biginter operator +(const Biginter& a,const Biginter& b)
{
    Biginter c;
    c.d[0] = max(a.d[0],b.d[0]);
    for(int i = 1;i <= c.d[0];i++){
        c.d[i] += a.d[i]+b.d[i];
        if(c.d[i] >= ten[4]){//其实每次只需要看是否要进1即可;
            c.d[i] -= ten[4],c.d[i+1]++;
            if(i == c.d[0]){
                ++c.d[0];
                break;
            }
        }
    }
    return c;
}
Biginter operator -(const Biginter& a,const Biginter& b){
    Biginter c;
    c.d[0] = a.d[0];
    for(int i = 1;i <= c.d[0];i++){
        c.d[i] += a.d[i] - b.d[i];
        if(c.d[i] < 0){
            c.d[i] += ten[4];
            c.d[i+1]--;
        }
    }
    while(c.d[0] > 1 && c.d[c.d[0]] == 0) c.d[0]--;
    return c;
}
Biginter operator *(const Biginter& a,const Biginter& b)
{
    Biginter c;
    c.d[0] = a.d[0]+b.d[0];
    for(int i = 1;i <= a.d[0];i++){
        int x = 0;
        for(int j = 1;j <= b.d[0];j++){
            x += a.d[i]*b.d[j]+c.d[i+j-1];
            c.d[i+j-1] = x%ten[4];//相乘时需要记录超出多少需要mod，但相加减时超出数值就是1~~不用mod更快
            x /= ten[4];
        }
        c.d[i+b.d[0]] = x;//***
    }
    while(c.d[0] > 1 && c.d[c.d[0]] == 0) c.d[0]--;
    return c;
}
int main()
{
    Biginter F[101]={"0","1","5"},F3("3"),F2("2");
    rep1(i,3,100)
        F[i] = F[i-1]*F3 - F[i-2] + F2;    
    int n;
    while(scanf("%d",&n) == 1){
        F[n].tostring();
    }
    return 0;
}