Tirck ：三元环计数

结论：

无向图中三元环的数量级不超过 \(\sqrt m\)。

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LGP1989 无向图三元环计数

求有向图中的三元环个数。

把无向边改成有向边，优先度数从小到大连边，度数相同按编号大小（小大大小选一种）连边。简单画画图可以发现，这样一定不会连出环（可以自己枚举一下成环的方式，会发现都不存在）。也即，三元环 \(u,v,w\) 会变成 \(u \rightarrow v \rightarrow w,u \rightarrow w\) 的形式。

于是遍历 \(u\) ，对每个 \(u\) 枚举 \(v\)，对于每个 \(v\) 枚举 \(w\)，一眼似乎是 \(O(m^2)\)，然而其实是 \(O(m \sqrt m)\)，证明如下。

\(deg(v)\) 表示度数，\(out(v)\) 表示出边数。

首先，可以认为枚举了每一条出边 \(e : u \rightarrow v\)，并枚举了每个 \(v\) 的所有出边，所以复杂度式子为 \(\sum_{i=1}^m out(v)\)。

考虑天然根号。一种是 \(out(v) \le deg(v) \le \sqrt m\)，另一种 \(deg(v)>\sqrt m\)，由于按度数从小到大连边，\(deg(w) \ge deg(v)\)，所以 \(w\) 的数量不多于 \(\sqrt m\) 个。

综上， \(\forall v, \ out(v)\le sqrt(m)\)，所以 \(\sum_{i=1}^m out(v) \le m \sqrt m\)。

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题目已经做完了，然而可以发现一个性质：每个三元环都被遍历过，而总复杂度不多于 \(m \sqrt m\)，所以三元环数量不多于 \(m \sqrt m\)。

性质应用见 LGP3547 [POI2013] CEN-Price List。