《数学之美》之谈谈密码学
《数学之美》之谈谈密码学
声明：以下内容或摘自或总结自吴军老师的《数学之美》，由于所理解能力有限，本文并不对内容的科学性进行考证，但求能够从中略窥知一二，则已经是大有裨益了。而内容的科学性考证还是交给一些领域专家们去做吧，我尽我所能广泛涉猎而已。
原始密码学
两千年前，相传名将凯撒为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表，比如说
这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂，比如收到一个的消息是EBKTBP，那么在敌人看来是毫无意义的字，通过密码本解破出来就是 CAESAR 一词，即凯撒的名字。这种编码方法史称凯撒大帝。
以上原始的方法通过统计一下字母频率就可以破解。而如果编码时，一对多，并随机挑选，这样就无法通过统计破解。
好的密码必须做到已知明文和密文的对应推断不出新的密文内容，就是说无法把握从密文到明文的转换规律。
信息论时代的密码学
根据信息论，密码最高的境界是敌方在截获密码时，信息量没有增加。一般来讲，当密码分布均匀并统计独立，提供的信息最少，类似白噪声就最难把握。
以早期著名的RSA算法为例，说明公开密匙的加密过程。
有公匙和私匙之分，一个用于加密，一个用于解密；
两个看似无关的密匙，在数学上是关联的；
RSA算法
找两个很大的素数（质数）P 和 Q，越大越好，比如 100 位长的, 然后计算它们的乘积 N=P×Q，M=（P-1）×（Q-1）。
找一个和 M 互素的整数 E，也就是说 M 和 E 除了 1 以外没有公约数。
找一个整数 D，使得 E×D 除以 M 余 1，即 E×D mod M = 1。
其中 E 是公钥，谁都可以用来加密，D 是私钥用于解密，一定要自己保存好。乘积 N 是公开的，即使敌人知道了也没关系。
我们用下面的公式对 X 加密，得到密码 Y。
好了，现在没有密钥 D，神仙也无法从 Y 中恢复 X。如果知道 D，根据费尔马小定理，则只要按下面的公式就可以轻而易举地从 Y 中得到 X。
公开密匙的好处
1.简单。只是一些乘法而已。
2.可靠。公开密钥方法保证产生的密文是统计独立而分布均匀的。也就是说，不论给出多少份明文和对应的密文，也无法根据已知的明文和密文的对应来破译下一份密文。更重要的是 N,E 可以公开给任何人加密用，但是只有掌握密钥 D 的人才可以解密, 即使加密者自己也是无法解密的。这样，即使加密者被抓住叛变了，整套密码系统仍然是安全的。（而凯撒大帝的加密方法有一个知道密码本的人泄密，整个密码系统就公开了。）
3.灵活。可以产生很多的公开密钥E和私钥D的组合给不同的加密者。
首先声明世界上没有永远破不了的密码，关键是它能有多长时间的有效期，一种加密方法只要保证50年内计算机破解不了就可以满意了。
下面补充一些数学上的知识和段子：
摘自 http://www.cricode.com/1087.html
一个例子
A CHEF HIDE A BED
厨子藏起来了一张床！这是如此的重要，需要立即通知总部。千万重要的是，不能让反革命的厨子知道。
第一步是转码，也就是将英文转换成某个对应的数字。这个对应很容易建立，比如：
A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
将上面的信息转码，获得下面的数字序列：
A CHEF HIDE A BED
1 3856 8945 1 254
这串数字完全没有什么秘密可言。厨子发现了这串数字之后，很容易根据数字顺序，对应字母表猜出来。
改进
为了和狡猾的厨子斗智斗勇，我们需要对这串数字进一步加密。使用总部发给我们的锁，两个数字：3和10。我们分为两步处理。
第一步是求乘方。第一个数字是3，也就是说，总部指示我们，求上面数字串的3次方：
原字符串: 1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4
三次乘方: 1 27 512 125 216 512 729 64 125 1 8 125 64
第二步是求余数。第二个上锁的数字是10，将上面每个三次乘方除以10，获得其余数：
余数： 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4
将这串数字发回总部。中途被厨子偷看到，但一时不能了解其中的意思。如果还是像刚才一样对应字母表的话，信息是：
AGBEFBIDEAHED
这串字母完全不包含正常的单词。
信息到了总部。总部开始用神奇的钥匙来解读。这个钥匙是3。(偷偷告诉你的，别告诉厨子。)
（这里钥匙不小心和之前锁中的一个数字相同。这只是巧合。）
解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方，即3次方。第二步求它们除以10（锁之一）的余数。
加密信息：1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4
三次乘方：1 343 8 125 216 8 729 64 125 1 512 125 64 (这里用的是钥匙的“3”)
除十得余：1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4
正是我们发送的信息。对应字母表，总部可以立即知道原来的信息。
特工练习
再次强调，为了演示方便，选用了简单的锁和钥匙。锁和钥匙只是凑巧相同。为此，我们做一个小练习。
练习：总部新公布出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。
1) 作为特工，用上面的算法为信息加密(你可能需要一些编程来计算，尝试用Python的数学计算功能？)。
猜到钥匙是什么了呢？不是上面两个数字中的任何一个，而是143！
2) 作为值班人员，验证143是钥匙，可以解密信息。
为了简便，你可以只检验一个简单的信息，比如“IE”。
费马与欧拉
发觉自己被愚弄了，厨子很生气，后果很严重。厨子发奋看了书，知道了这个加密方法叫RSA，是三为发明人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明的。全称是RSA Public Key System。这个”Public Key”是公共密钥，也就是我们上面说的锁。再读下去，厨子大窘。这个1977年的，现代计算机加密的RSA算法，居然源于17世纪。
- 费马小定律
RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler’s theorem)。17世纪的费马首先给出一个该定理的特殊形式，即“费马小定理”：
p是一个正的质数，a是任意一个不能被p整除的整数。那么，
我们并不需要太深入了解费马小定理，因为等下就会看到这个定理的“升级版”。但这个定理依然很美妙，它优美的得到乘方和整除的某种特殊关系。使用一个例子来说明它。比如p=7，a=3。那么费马小定律表示，
事实上，上面的数字计算得到
数学小贴士：
1) 除 (divide)，商和余数：两个整数相除，有一个为整数的商，和一个余数。比如10/3=3,余1。我们用一个特别的方式记录这一叙述:
10≡1(mod3)
也可以写成另一种方式：
[10]3=[1]3
这一表述方式与“10除以3，得3余1”这样的方式并没有什么区别。但采用标准的数学方式更容易和别人交流。
如果我们知道：
[a]n=[b]n
那么存在某个整数t，且：
a=nt+b
2) 整除 (divisible)：当一个整数a除以另一个整数b，余数为0时，那么我们说a可以被b整除。比如说，4可以被2整除。即
[4]2=[0]2
3) 质数 (prime number)：一个质数是只能被±1和这个数自身整除的整数（不包括±1）。比如2，3，5，7，11，13等等。
加密方法是将原来的某种信息按照某个规律打乱。某种打乱的方式就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密，而接收信息的人利用相同的密钥，来给信息解密。就好像一个带锁的盒子。发送信息的人将信息放到盒子里，用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同一个密钥，这种加密称为对称加密（symmetric encryption）。
如果一对一的话，那么两人需要交换一个密钥。一对多的话，比如总部和多个特工的通信，依然可以使用同一套密钥。但这种情况下，对手偷到一个密钥的话，就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果，很多都来自于破获这种对称加密的密钥。
对称加密的薄弱之处在于给了太多人的钥匙。如果只给特工锁，而总部保有钥匙，那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里，谁也打不开，除非到总部用唯一的一把钥匙打开。只是这样的话，特工每次出门都要带上许多锁，太容易被识破身份了。总部老大想了想，干脆就把造锁的技术公开了。特工，或者任何其它人，可以就地取材，按照图纸造锁，但无法根据图纸造出钥匙。钥匙只有总部的那一把。
关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁，并不能知道钥匙。这样，银行可以将“造锁”的方法公布给所有用户。每个用户可以用锁来加密自己的信用卡信息。即使被别人窃听到，也不用担心：只有银行才有钥匙呢！这样一种加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。
2015-9-16 艺少
