组合数小记

前言

计数的基本原理

考虑一个集合：\(S\)，求 \(|S|\)。

1. 加法原理：\(S=S_1\cup S_2,|S|=|S_1|+|S_2|\)。

2. 乘法原理：\(|{(a,b)|a\in S_1,b \in S_2}|=|s_1||s_2|\)

更浅显的说当两件事情无关时为加法，当前一件的结果影响后面时用乘法。

组合数基本公式及衍生公式

排列与组合

1. 排列数：\(A_n^m= \dfrac{n!}{(n-m)!}\)。

相当与第一个可以选 \(n\) 个，第二个可以选 \(n-1\) 个，依次类推。

2. 组合数：\(C_n^m=\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{(n-m)!\times n!}\)。

在排列数中减去重复的 \(n!\) 项。

重要公式

1. 递推式（杨辉三角）

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m} \]

感性愉悦：选不选最后一个。

理性愉悦：把式子拆开暴力计算。

2. 二项式定理

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i} \]

感性愉悦：拆开相当于每个括号选 \(a\) 或选 \(b\)。

理性愉悦：数学归纳法。

• 组合式第 \(i\) 行的和：\(2^i\)。

用 \((1+1)^i\) 计算可证。

• 偶数项减奇数项：\([n=0]\)

用 \((1-1)^n\) 计算可证。

3. 对称恒等式：

\[\binom{n}{m}= \binom{n}{n-m} \]

太显然就不证了。

4. 链式恒等式（我们学长取的，没有专门的名字）

\[\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \]

感性愉悦：等于先在 \(n\) 个中选 \(k\) 个，再选中间的 \(k\) 个。

理性愉悦：拆式子计算。

此等式很好证明但推式子时可能想不起。

5. 吸收恒等式

\[\binom{n}{m}=\dfrac{n}{m}\binom{n-1}{m-1} \]

感性愉悦：先选一个出来，然后再剩下的中选出 \(m-1\) 个，这样每个方案会被算 \(m\) 次，所以再除以 \(m\)。

理性愉悦：拆式子计算。

6. 范德蒙德卷积式

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

感性愉悦：有两堆东西，总共选 \(k\) 个出来，等价于先枚举每堆选多少个，再在内部选。

理性愉悦：用二项式定理拆：\((x+1)^n(x+1)^m\)

十二重计数法

\(n\) 个有（无）标号的球放入 \(m\) 个有（无）标号的盒子，盒子无限制（至多一个球 / 至少一个球）的情况数：

球	盒子	无限制	至少一个	至多一个
可区分	可区分	\(m^n\)	\(m! \begin{Bmatrix} n \\\\ m \end{Bmatrix}\)	\(A_m^n\)
可区分	不可区分	\(\sum_{i = 0}^m{\begin{Bmatrix} n \\\\ i \end{Bmatrix}}\)	\(\begin{Bmatrix} n \\\\ m \end{Bmatrix}\)	\([n \le m]\)
不可区分	可区分	\({n + m - 1 \choose m - 1}\)	\({n - 1 \choose m - 1}\)	\({m \choose n}\)
不可区分	不可区分	\(\sum_{i = 0}^m{p(n, i)}\)	\(p(n, m)\)	\([n \le m]\)

卢卡斯定理

\[\binom{n}{m} \bmod p=\binom{\lfloor n / p\rfloor}{\lfloor m / p\rfloor}\binom{ n \bmod p}{m \bmod p} \bmod p \]

主要应用为处理大范围模中等模数。

卡特兰数

\[\text{Cat}_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{2n \choose n}{n + 1} \]

求解从 \(n\times n\) 棋盘的一端走向另一端不超过对角线的方案数。

证明经典迷宫翻折法证明。

应用

1. 个n行n列的棋盘,从左下角走到右上角，一直在对角线右下方走,不穿过主对角线,走法种数。

2. 用 \(n\) 个左括号和 \(n\) 个右括号组成一串字符串,有多少种合法的组合?

例如,"()()(())”是合法的,而“())(()”是非法的。
显然,合法的括号组合是任意前 \(k\) 个括号组合,左括号的数量大于或等于右括号的数量。
定义左括号为 \(0\),右括号为 \(1\)。问题转换为 \(n\) 个 \(0\) 和 \(n\) 个 \(1\) 组成的序列,任意前 \(k\) 个序列中,\(0\) 的数量都大于或等于 \(1\) 的数量。模型和上面的棋盘问题一样。

3. \(n\) 个节点构成的完全二叉树种类。