C语言算法探究之（二）：算法的准确性

 

本篇是接着上一篇而写的。

数学本身是非常严密的，在进行数学推导的过程中，一般要用到一些运算规则、恒等变换、公式变形等，而变换前后的式子是等价的。但在实际运算过程中，数学上完全等价的式子，其运算结果却差异很大。下面再举个例子说明：

使用通常的求根公式，即：

 

来求解一元二次方程：

 

 

 

的两个实根。

程序如下：

// exp2.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include "math.h"

int main(int argc, char* argv[])
{
    double x1,x2;
    x1=(pow(10,18)+1+sqrt((pow(10,18)+1)*(pow(10,18)+1)-4*1*pow(10,18)))/2;
    x2=(pow(10,18)+1-sqrt((pow(10,18)+1)*(pow(10,18)+1)-4*1*pow(10,18)))/2;
    printf("x1=%e\n",x1);
    printf("x2=%e\n",x2);
    return 0;
}

结果如下：

经检验可以发现：x1=1.0e+018是方程的跟，而x2=0.0并不满足原方程。

这个例子表明，理论上的解题方案在有些情况下并不能使用，实际上，一元二次方程

的求根公式

对于一般的系数a,b,c来说可以使用，但如果对于某些a,b,c使求根公式分子中的两项（-b）和很接近时，计算结果就会严重丢失有效数字，在这种情况下就不能简单的使用求根公式了。

一般来说，对于一元二次方程可以用以下方法求出两个实根：利用求根公式先计算一个可靠的实根，目的是使求根公式分子中的两项为同号相加，从而避免了两个同号数相减的情况，然后利用韦达定理计算另一个实根：

 

 

其中sgn(b)为b的符号函数。