[贪心经典算法]Kruskal算法

Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里不介绍并查集，只介绍Kruskal算法的基本思想和证明，实现留在以后讨论。

Kruskal算法的过程：

（1） 将全部边按照权值由小到大排序。
（2） 按顺序（边权由小到大的顺序）考虑每条边，只要这条边和我们已经选择的边不构成圈，就保留这条边，否则放弃这条边。

算法 成功选择(n-1)条边后，形成一棵最小生成树，当然如果算法无法选择出(n-1)条边，则说明原图不连通。

以下图为例：

边排序后为：

 

1　AF 1

2　DE 4

3　BD 5

4　BC 6

5　CD 10

6　BF 11

7　DF 14

8　AE 16

9　AB 17

10　EF 33

 

算法处理过程如下：

处理边AF，点A与点F不在同一个集合里，选中AF。

处理边DE，点D与点E不在同一个集合里，选中DE

处理边BD，点B与点D不在同一个集合里，选中BD

处理边BC，点B与点C不在同一个集合里，选中BC

处理边CD，点C与点D在同一个集合里，放弃CD。

处理边BF，点B与点F不在同一个集合里，选中BF。

 

至此，所有的点都连在了一起，剩下的边DF，AE，AB，EF不用继续处理了，算法执行结束。

Kruskal算法的证明。假设图连通，我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树，并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中，而不在T中最小权值的边e。

把e加入T中，则形成一个圈，删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性，如果全里面所有的边都在K中，则K包含圈，矛盾。

总结就是取最小权值边然后一直取最小权值边如果成环就舍弃.