虚树学习笔记

虚树是对于若干关键点，新建一个 \(\Omicron(k)\) 个节点的树，包含所有节点任意组合的 lca，来在上面做树形 DP，降低复杂度

lca 性质

以下默认树的总节点数为 \(n\)，

1. \(k\) 个节点两两组合的不同 lca 个数最多 \(k-1\) 个
   证明：将所有节点按 dfn 值排序，对于不相邻的两个点 \(x,y, dfn_x < dfn_y\)，设它们的 lca 为 \(p\)。当 \(p = x\) 或 \(p = y\) 时，显然此时仍有 \(x\) 右边或 \(y\) 左边的点 \(u\) 和 \(x\) 或 \(y\) 的 lca 为 p；否则，\(x\) 和 \(y\) 一定在 \(p\) 的子树中，则必存在一点 \(u\)，为 \(x\) 子树内 dfn 值最大的点，那么 \(u\) 和 \(u\) 的下一个点的 lca 一定为 \(p\)

2. \(k\) 个节点，所有节点任意组合的不同 lca 个数最多 \(k-1\) 个
   证明同上

3. \(k\) 个节点，建出虚树后只有一个根节点
   证明：全部节点的 lca 的子树包含了所有 lca

建树

二次排序+lca连边

有了刚才的结论，先按 dfn 排序，然后相邻点对 lca，把所有点丢进去去重，再按 dfn 排序，最后相邻点 \(x,y\) 连 \(LCA(x,y) \rightarrow y\) 的边即可，证明显然