算法导论图论部分总结

具体证明详见算法导论

图的表示

• 图 \(G = (V,E)\)，其中 \(V\) 为点集，\(E\) 为边集

• 邻接矩阵：顾名思义为矩阵，\(a_{i,j}\) 表示边 \((i,j)\) 的信息。优点是可以进行矩阵乘法，可以方便的判断 \((u,v) \in E\)；缺点是空间复杂度为 \(O(V^2)\)，遍历图的时间复杂度也为 \(O(V^2)\)，不适用于稀疏图

• 邻接表：顾名思义为链表，\(Adj_u\) 表示能从 \(u\) 出发只经过一条边到达的点 \(v\)。优点是空间复杂度为 \(O(V+E)\)，稠密图和稀疏图都适用；缺点也是不能快速判断 \((u,v) \in E\)

BFS

原理：对 \(u\) 能到达的点进行系统性探索，相当于一层层搜索。用队列实现

性质：

• BFS 找到的路径是从起点开始的最短路径

• BFS 过程中队列里的点的 \(dis\) 值单调递增，且只有两种 \(dis\) 值

DFS

原理：每次搜索尽量深入，深入不了再回到上一层决策。用栈实现

性质：
以下令把每个点的发现时间为 \(d\)，每个点的完成时间为 \(f\)

• dfs 后，在序列 \(A\) 中，，令 \(A_d = (\) ，\(A_f= )\)， 则 \(A\) 为合法括号序列
• dfs 后，可建出 dfs 生成树，在无向图中有四种边：树边，前向边，后向边，横叉边。在有向图中有两种边：树边，后向边。可以通过 \(u.d,u.f,v.d,v.f\) 的关系判断边的类型

拓扑排序

前提：有向无环图

方法 1：dfs 一次，在每个点完成搜索后放到栈里