CF1446D Frequency Problem 题解

首先，可以确定，如果整个序列有两个以上众数，那么答案为 \(n\)，故考虑只有一个众数 \(x\) 的情况。

接下来还是不好做，还是要枚举每个区间，此时我们可以尝试缩小区间范围，排除无效区间。

我们假设最终答案的区间为 \([L,R]\)，那么我们尝试把这个区间的众数 \(y,z\) (或更多) 与 \(x\) 联系起来，众数与数在序列中出现次数有关，这个次数记为 \(cnt_{val}\)。

首先考虑 \([L,R]\) 区间中，是否有 \(x = y\)，如果有，那问题便好做许多，如果没有，我们尝试把区间变为这种情况。

首先，由于我们找的是最长区间，所以我们可以考虑扩大区间来寻找一个更优方案。

容易发现，对于 \([1,n]\) 区间，有 \(cnt_x \ge cnt_y\)。如果 \([L,R]\) 区间众数不包含 \(x\)，则 \(cnt_x < cnt_y\)，则我们在扩大的过程中，必有区间 \([L',R']\)，使得 \(cnt_x = cnt_y\)，这样的区间合法且更优

所以我们得出结论：答案子段的众数集合一定包含整个序列的众数 \(x\)

那么我们已经确定 \(x\)，只需枚举 \(y\)，找出区间使得 \(x,y\) 的出现次数一样多就行了

先考虑简单版本：由于值域较小，我们可以直接枚举 \(y\)，考虑怎么找区间，这里出现次数一样多有一个经典做法：把 \(x\) 记为 \(1\)，\(y\) 记为 \(-1\)，其他记为 \(0\)，转化为 \(b\) 序列，则我们记录前缀和 \(s\)，再用一个 \(map\) 映射找 \(sum_r = sum_l\) 的地方即可，所以我们把次数关系转化为简单的数值关系

困难版本就不好办，对于这种值域的优化，我们可以想到根号分治，对于出现次数 \(> \sqrt{n}\) 的数，他们种类一定 \(< \sqrt{n}\)，可以用简单版本的做法；对于出现次数小于 \(\le \sqrt{n}\) 的数，显然可以枚举出现次数，使用双指针判断是否有至少两个不同的达到这个最大出现次数即可