动态规划——换钱的最少货币数
题目：
给定数组arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一中面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
思路:
如果arr的长度为N, 则生成一个行数为N, 列数为aim+1的动态规划表dp[N][aim+1], dp[i][j]的含义为:在可以任意使用arr[0...i]货币的情况下，组成j所需的最小张数。
设: arr=[5,2,3,1] aim = 5
1.dp[0..N-1][0]的值表示找钱数为0时需要的最少张数，所以全设为0。（矩阵的第一列）
0 0 0 0 0 0
dp= 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2.dp[0][0...aim]的值表示只能使用arr[0]货币也就是5的情况下，找0 ,1,2,3,4,5的钱的情况下。其中无法找开的一律设为32位的最大值，记为max.
0 max max max max 1
dp= 0
0
0
3.剩下的位置依次从左到右，再从上到下计算。假设计算到(i,j)位置，dp[i][j]的值可能来自下面的情况:
完全不使用当前货币arr[i]情况系的最少张数，即dp[i-1][j]的值
只使用一张当前货币arr[i]的情况下的最少张数，即dp[i-1][j-arr[i]]+1 其中 j-arr[i]的值为使用了一张arr[i]后，还需要找多少钱。 i-1是指使用arr[i]之前的钱来兑换
只使用两张当前货币arr[i]的情况下的最少张数，即dp[i-1][j-2*arr[i]]+2
只使用三张当前货币arr[i]的情况下的最少张数，即dp[i-1][j-3*arr[i]]+3
所有情况中，取最小的纸张数。所以:
dp[i][j] = min{dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*arr[i]]} + k ==>
dp[i][j] = min{dp[i-1][j], min{dp[i-1][j-x*arr[i]]+x (x >= 1)}} ==>
设x-1 = y >= 0 ==> x = y +1代入得
dp[i][j] = min{dp[i-1][j], min{dp[i-1][j-arr[i]-y*arr[i]+y+1 (y>=0)}}
又因为min{dp[i-1][j-arr[i]-y*arr[i]+ y (y>=0)] =>
dp[i][j-arr[i]] 因为其中 dp[i-1][j-y*arr[i]+y] = dp[i][j]
最终有:dp[i][j] = min{dp[i-1][j], dp[i][j-arr[i]+1]} 如果 j-arr[i] < 0,即发生越界。
说明arr[i]太大了，用一张都会超出钱数j，所以令dp[i][j]=dp[i-1][j]即可。
0 max max max max 1
dp= 0 max 1 max 2 1
0 max 1 1 2 1
0 1 1 1 2 1
package chapter_4.solution3;
public class Solution_3 {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {5,2,3,1};
int aim = 5;
System.out.println(minConins1(arr, aim));
}
public static int minConins1(int[] arr, int aim){
if(arr == null || arr.length == 0 || aim < 0){
return -1;
}
int[][] dp = new int[arr.length][aim+1];
int max = Integer.MAX_VALUE;
//设置第一行
for(int j=1; j <= aim; j++){
dp[0][j] = max;
if(j-arr[0] >= 0 && dp[0][j-arr[0]] != max ){
dp[0][j] = dp[0][j-arr[0]] + 1;
}
}
int left = 0;
for(int i=1; i < arr.length; i++){
for(int j=1; j <=aim; j++){
left = max;
if(j-arr[i] >=0 && dp[i][j-arr[i]] != max){
left = dp[i][j-arr[i]] + 1;
}
dp[i][j] = Math.min(left, dp[i-1][j]);
}
}
for(int i=0; i < arr.length; i++){
for(int j=0; j<= aim; j++){
System.out.print(dp[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
return dp[arr.length-1][aim] != max ? dp[arr.length-1][aim] : -1;
}
}
