梯度下降法

在应用机器学习算法时，我们通常采用梯度下降法来对采用的算法进行训练。其实，常用的梯度下降法还具体包含有三种不同的形式，它们也各自有着不同的优缺点。

下面我们以线性回归算法来对三种梯度下降法进行比较。

一般线性回归函数的假设函数为：

 

 对应的代价函数为：

 

 下图作为一个二维参数（，）组对应能量函数的可视化图：

 

 下面我们来分别讲解三种梯度下降法

批量梯度下降法BGD

我们的目的是要代价函数尽可能的小，即求解weights使误差函数尽可能小。首先，我们随机初始化weigths，然后不断反复的更新weights使得代价函数减小，直到满足要求时停止。这里更新算法我们选择梯度下降算法，利用初始化的weights并且反复更新weights：

 

 这里代表学习率，表示每次向着J最陡峭的方向迈步的大小。为了更新weights，我们需要求出函数J的偏导数。首先当我们只有一个数据点（x,y）的时候，J的偏导数是：

 

 则对所有数据点，上述损失函数的偏导（累和）为：

 

再最小化代价函数的过程中，需要不断反复的更新weights使得误差函数减小，更新过程如下：

那么好了，每次参数更新的伪代码如下（\alpha暂时被省略了）：

 

 由上图更新公式我们就可以看到，我们每一次的参数更新都用到了所有的训练数据（比如有m个，就用到了m个），如果训练数据非常多的话，是非常耗时的。

下面给出批梯度下降的收敛图：

 

 从图中，我们可以得到BGD迭代的次数相对较少。

随机梯度下降法SGD

由于批梯度下降每跟新一个参数的时候，要用到所有的样本数，所以训练速度会随着样本数量的增加而变得非常缓慢。随机梯度下降正是为了解决这个办法而提出的。它是利用每个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新θ（\alpha暂时被省略了）：

 

 更新过程如下：

 

 随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到所有训练样本（往往如今真实问题训练数据都是非常巨大），一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

随机梯度下降收敛图如下：

 

 我们可以从图中看出SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。但是大体上是往着最优值方向移动。

min-batch 小批量梯度下降法MBGD

我们从上面两种梯度下降法可以看出，其各自均有优缺点，那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢？即，算法的训练过程比较快，而且也要保证最终参数训练的准确率，而这正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD）的初衷。

我们假设每次更新参数的时候用到的样本数为10个（不同的任务完全不同，这里举一个例子而已）

更新伪代码如下：

 

 实现代码

BSD

import numpy as np

def batch_gradient_descent(X, y, alpha, theta, iteration):
    m = X.shape[0]
    ## X_train = X.transpose() # 转置
    
    for i in range(iteration):
        h = np.dot(X_train, theta)
        loss = h - y
        gradient = np.dot(X_train.T, loss) / m
        theta = theta - alpha * gradient
    
    return theta

SGD

import numpy as np

def stochastic_gradient_descent(X, y, alpha, theta, iteration):
    m = X.shape[0]
    np.random.shuffle(X) # 打乱样本顺序
    
    for _ in range(iteration): # 外层迭代次数
        for j in range(m): # 遍历样本
            h = np.dot(X[j], theta)
            loss = h - y
            gradient = np.dot(X[j], loss)
            theta = theta - alpha * gradient
    
            return theta

总结

1.批梯度下降每次更新使用了所有的训练数据，最小化损失函数，优点是易得到全局最优解，易于并行实现；缺点是如果样本值很大的话，更新速度会很慢。

2.随机梯度下降在每次更新的时候，只考虑了一个样本点，这样会大大加快训练数据，但是这样造成噪声点较多，那么每一次利用噪声点进行更新的过程中，就不一定是朝着极小值方向更新，但是由于更新多轮，整体方向还是大致朝着极小值方向更新。

3.小批量梯度下降法是为了解决批梯度下降法的训练速度慢，以及随机梯度下降法的准确性综合而来，不同问题的batch是不一样的。

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25765735、

https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5089753.html#_label0