一道导数中的构造函数题

设 \(f'(x)\) 是函数 \(f(x)(x\in R)\) 的导函数，\(f(0)=1\)，且 \(3f(x)=f'(x)-3\)，则 \(4f(x)>f'(x)\) 的解集是

这是一道高考选择压轴题，原函数 \(f(x)\) 似乎是叫什么常微分方程吧，可想而知，这题肯定不是套一个特殊函数就能解决的，当然，如果你真的一看就猜对了的话，就当我没说 XD

下面是这题的解答步骤（我也不知道是怎么想到这样做的）

首先，看到题干中 \(3f(x)=f'(x)-3\) 的等号，就应该要知道 \(f(x)\) 是一个确定的函数，所以应马上放弃套一个函数的诡计 \doge 。
然后移项 $$f'(x)=3f(x)+3=3[f(x)+1]$$
显然，这样好像并不能构造出有用的函数......
但是，注意到常数的导数是 0 ，为使左右两边括号内的式子相同，我们可以给左边加上一个 1 ，即$$f'(x)=[f(x)+1]'=3[f(x)+1]$$
于是$$\frac{[f(x)+1]'}{f(x)+1}=3$$
这显然不能用导数运算的除法法则来构造，但是又有一个分数，且分子是分母的导数，所以想到链式法则和 \(\ln x\) 的导数，也就是$$[\ln [f(x)+1]]'=3$$
然后有$$\ln[f(x)+1]=3x+c(c为常数)$$
所以$$f(x)+1=e^{3x+c}$$
即$$f(x)=e^{3x+c}-1$$
题干中给出了 \(f(0)\) 的值，我们代入到上式中可以求出 \(c=\ln 2\)
于是我们终于得到了原函数的式子$$f(x)=2e^{3x}-1$$
最后直接求解不等式即可，答案是 \((\frac{\ln 2}{3},+\infty)\)