两道求函数的值域的题

文化课选手来更博了

get 到了两个新的技巧，放在博客上面。

\(y=\frac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}\)

方法一：

分离系数，

\[y=2-\frac{3x}{x^2+x+1} \]

当 \(x=0\) 时，\(y=2\)
当 \(x\not= 0\) 时，有$$y=2-\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}$$
\(x+\frac{1}{x}\) 是一个对勾函数，值域为 \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)
故易知 \(2-\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1} \in [1,2)\cup(2,5]\)
于是 \(y=\frac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}\) 的值域为 \([1,5]\)

方法二(利用 \(\Delta\) )：

原函数即 $$y(x^2+x+1)=2x2-x+2$$
整理得 $$(y-2)x^2+(y+1)x+y-2=0$$
当 \(y=2\) 时，有 \(3x=0\) ，即 \(x=0\) ，符合
当 \(y\not= 2\) 时，将 \(y\) 看成一个常数，得到一个一元二次方程
由函数的性质可知，当 \(y\) 的取值在原函数的值域范围内时，此方程必有实根
于是令 $$\Delta=(y+1)^2-4(y-2)2=-3(y-1)(y-5)\ge 0$$
得 \(y\in[1,2)\cup(2,5]\)
再加上前面的 2 便可知 \(y=\frac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}\) 的值域为 \([1,5]\)

显然，在这道题的处理上用分离系数法比 \(\Delta\) 法更优。

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\(y=\frac{1-\sin{x}}{2-\cos{x}}\)

方法一：

原函数即$$2y-y\cos x=1-\sin x$$
整理得$$\sin x-y\cos x=1-2y$$
由辅助角公式得$$\sqrt{y^2+1} \sin{(x+\varphi)}=1-2y$$
即$$\sin(x+\varphi)=\frac{1-2y}{\sqrt{y^2+1}}$$
余弦函数的值域为 \([-1,1]\) ，所以 \(\frac{1-2y}{\sqrt{y^2+1}}\in[-1,1]\)
平方得 $$\frac{4y^2-4y+1}{y2+1}\le 1$$
解此不等式得 \(y\in [0,\frac{3}{4}]\)
故 \(y=\frac{1-\sin{x}}{2-\cos{x}}\) 的值域为 \([0,\frac{3}{4}]\)

方法二：

将 \(y\) 看成 \(k\) 则原函数为$$k=\frac{\sin x-1}{\cos x -2}$$
可以将其看成点 \((1,2)\) 到单位圆上的点的斜率
于是利用解析几何的方法我们可以轻松的求出 \(k\in[0, \frac{3}{4}]\)
所以 \(y=\frac{1-\sin{x}}{2-\cos{x}}\) 的值域为 \([0,\frac{3}{4}]\)

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这两道题中， T1 的 \(\Delta\) 法和 T2 的法一利用辅助角公式和余弦函数的值域是 get 到的新技巧，虽然在题中都没有另一种方法优......