数列分块入门

分块：将原序列处理成若干个小块,目的是尽量地达到处理和询问之间的平衡。

一般将区间内不完整的块单独暴力处理，完整的块则直接打上标记整块处理。

分块入门 1

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

给每块设计一个加法标记，然后不完整的块直接加，完整的块就打上标记，询问时加上标记即可。

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分块入门 2

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 x 的元素个数。

我们对每个块记录一个最大值和最小值，然后如果最大值小于 x ，则直接加上块内元素个数，如果最小值大于 x ，则可以直接跳过这个块，而对于不完整的块，也是直接暴力对每个元素进行判断。

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分块入门 3

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 x 的前驱(这里的前驱必须小于 x )。

这里我们可以用 set 做。每个块的元素都用一个 set 储存，询问时，不完整块暴力判断，完整的块内使用 set 的 lower_bound 函数查找。

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( m 不能等于 sqrt(n) ，否则会 T)

分块入门 4

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，区间求和。

线段树的基本操作。使用分块的话，只要用一个数组维护每个块的和即可。

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分块入门 5

给出一个长为 n 的数列 \(a_1…a_n\)，以及 n 个操作，操作涉及区间开方，区间求和。

区间求和比较好操作，问题在于区间开方。因为是向下取整，所以一个数经过多次开方后的取值一定为 0 或 1 ，显然，一个块内所有元素都是这些值后，再次开方是不影响块内元素和的，所以我们可以利用这一点，对每个完整块也进行暴力开方，判断这块是否全为 0 或 1，打上标记，下次就可以直接跳过这个块，而块外的仍然暴力修改。

双倍经验：BZOJ3211 Luogu

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分块入门 6

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及单点插入，单点询问，数据随机生成。

由于数据随机生成，这题显然可以用 vector 直接做。

而如果不是随机的，就有可能一个块内的元素过多，大大超过了 \(\sqrt{n}\) ，那么我们就需要重新分块。

先将每一个块的元素用一个 vector 储存，插入就直接在所在的块的 vector 中插入，然后判断块的大小，如果过大，则重构，直接将每个块的元素储存在一个数组中，然后分块即可，注意要将 vector 清除。

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分块入门 7

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间乘法，区间加法，单点询问。

这里的难点在于乘法和加法的先后。

对于完整块，假设先前的标记为 \((a,b)\) 其中 \(a\) 表示乘法标记， \(b\) 表示加法标记。那么进行区间乘法时，标记将变为 \((a\times k,b \times k)\) ，进行区间加法时，标记将变为 \((a,b+k)\) 。

对于不完整块，我们暴力将其所在的块整块都乘和加上标记，将标记重置，然后再将包含在区间的元素进行当前操作。

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分块入门 8

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间询问等于一个数 c 的元素，并将这个区间的所有元素改为 c 。

容易发现，经过几次询问后，数列只有几段的数值不同，与区间开方的题目类似。同样，我们可以打一个标记，记录这个块要修改为的元素，对于不完整块，同样重置标记，暴力修改这个区间所在块内每个元素，然后修改询问所覆盖的区间的值，同时进行统计，而完整的块，如果标记等于 c ，直接加上块内元素个数，而如果没有标记，则暴力判断块内每个元素，然后再对块打上标记。

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分块入门 9

给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及询问区间的最小众数。

关于最小众数，可以看一下陈立杰大佬的「区间众数解题报告」。

对于区间的最小众数，它存在于整块内的最小众数或是块外的最小众数。

我们先将数列离散化处理，然后预处理出任意块到最后一个块的最小众数，然后询问时仍然是块外暴力，而块内的已经预处理好了，直接比较输出即可。

但我的代码 T 了两个点，修改了 m 的大小并各种加速也还是 T 了一个点......

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例题

BZOJ2821 作诗 && BZOJ2724 蒲公英

参考

hzwer大佬的博客