欧拉定理 & 费马小定理

前言

学基础数论的时候看过证明，然而很快就忘了，最近在学习高深一点的数论，于是再复习一下欧拉定理和费马小定理。

欧拉定理

内容

若正整数 \(a,n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)}\equiv1(mod \ n)\) 。

证明

设 \(x_1,x_2,...,x_{\varphi(n)}\) 为 \(n\) 以内与 \(n\) 互质的数。

它们具有以下性质：

1. 任意两个数模 \(n\) 的余数一定不同。
2. 对于任意 \(ax_i\) 与 \(n\) 互质。

以上性质显然，证明略。

我们将 \(x_1,x_2,...,x_{\varphi(n)}\) 定为一个集合， \(ax_1(mod \ n),ax_2(mod \ n),...,ax_{\varphi(n)}(mod \ n)\) 定为另一个集合，显而易见，这两个集合是相等的。

于是有

\[x_1*x_2*...*x_{\varphi{n}}=ax_1(mod \ n)*ax_2(mod \ n)*...*ax_{\varphi(n)}(mod \ n) \]

所以

\[ax_1*ax_2*...*ax_{\varphi(n)}\equiv x_1*x_2*...*x_{\varphi(n)} \]

即

\[a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod \ n) \]

得证。

费马小定理

内容

对于质数 \(p\) ，任意整数 \(a\) ，均满足 \(a^p\equiv a(mod \ p)\) 。

证明

我们可以利用欧拉定理来证。

先将式子作一个简单变换

\[a^{p-1}*a\equiv a(mod \ p) \]

即

\[a^{p-1}\equiv 1(mod \ p) \]

因为 \(p\) 为质数，所以 \(\varphi(p)=p-1\) ，于是得到了这个式子

\[a^{\varphi(p)}\equiv 1(mod \ p) \]

根据欧拉定理，若 \(a,p\) 互质，则式子成立；若 \(a,p\) 不互质，因为 \(p\) 是质数，所以 \(a\) 是 \(p\) 的倍数，显然 \(a^p \ mod \ p=a \ mod \ p=0\) ，定理成立。

综上，费马小定理成立。

欧拉定理的推论

内容

若正整数 \(a,n\) 互质，那么对于任意正整数 \(b\) ，有 \(a^b\equiv a^{b \ mod \ \varphi(n)}(mod \ n)\) 。

证明

变形得

\[a^{b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)}*a^{b \ mod \ \varphi(n)}\equiv a^{b \ mod \ \varphi(n)}(mod \ n) \]

\[a^{b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)}\equiv 1(mod \ n) \]

因为 \(b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)|\varphi(n)\) ，不妨设 \(b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)=p*\varphi(n)\) ，于是有

\[(a^p)^{\varphi(n)}\equiv 1(mod \ n) \]

因为 \(a,n\) 互质，所以 \(a^p,n\) 互质，由欧拉定理可证，推论成立。

参考

orz