欧拉定理

定义

如果正整数 \(n\) 和 整数 \(a\) 互质，那么就有

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

其中欧拉函数\(\varphi \left( n \right)\) 为 ”小于 \(n\) 的正整数中并且与 \(n\) 互质的数的个数“。
互质：即自然数 \(X\) 和 \(Y\) 的最大公因/约数为1 栗子：7 和 3 公约数只有1。
\( \equiv \): 同余关系。例如：\(X\) \( \equiv \) \(Y\) (mod \(n\)), 即 \(X\) mod \(n\) 和 \(Y\) mod \(n\) 的余数相同。

基础知识

1.唯一质数分解定理（Unique factorisation theorem）

任何一个正整数 \(n\) > 1 都可以唯一地分解为一组质数的乘积

\[n=2^{e_1}\times 3^{e_2}\times 5^{e_3}\times \cdots =\prod_{k=1}^{\infty}{p_{k}^{e^k}} \]

其中 \( e_1,e_2,\cdots \in N \) ，我们称这个分解为 \(n\)的标准分解
解释：因为一个数肯定是由合数和质数构成的，合数又可以分解成质数和合数，最后递归下去就会变成质数的乘积，最后化成了质数相乘的形式。如 \(100\rightarrow 4\times 25\rightarrow 2^2\times 5^2\)

2.最大公因/约数（GCD）、最小公倍数 （LCM）、互质（Coprime）

因数：指整数 a 除以 b (b!=0) 的商正好是整数而没有余数，我们就可以说 b 是 a 的因数。
公因数：两个或多个数共同都有的因数叫做公因数.
最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数。

倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如同上面的因数概念，a 即为 b的倍数。
公倍数：两个或多个都有的倍数叫做公倍数。
最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数。

互质：对于整数 \(a,b\) 我们记 \( gcd\left( a,b \right) \) 和 \( lcm\left( a,b \right) \) 为 \(a,b\) 的最大公因数和最小公倍数，有时候我们会直接把他们简写为 \( \left( a,b \right) \) 和 \( \left[ a,b \right] \) 。如果 \( gcd\left( a,b \right) =1 \) ，我们称 \(a,b\) 互质，也就是说他们没有任何共同的质因数。Attention: 1不为质数/素数。

基本性质

• \( gcd\left( a,b \right) =gcd\left( a\pm b,b \right) \)
• \( gcd\left( na,nb \right) =ngcd\left( a,b \right) \)
• \( gcd\left( a,b \right) =\frac{a\cdot b}{lcm\left( a,b \right)} \)
• 裴蜀定理：存在整数 \(x,y\) 使得 \( gcd\left( a,b \right) =ax+by \)

3.同余关系（Congruence relations）

整数 a 和 b 除以 n 的余数相同，则称 a, b 模 n 同于，记作

\[a\equiv b\ \left( mod\ n \right) \]

如果对于整数 \( a_1,a_2,b_1,b_2 \)

\[a_1\equiv b_1\left( mod\ n \right) \]

\[a_2\equiv b_2\left( mod\ n \right) \]

那么可以它们进行相加或相减

\[a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2\left( mod\ n \right) \]

同时也能进行相乘

\[a_1a_2\equiv b_1b_2\left( mod\ n \right) \]

综上两条性质，即如果 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\)，那么

\[p\left( a \right) \equiv p\left( b \right) \left( mod\ n \right) \]

Attention: P(x) 为任意整数多项式。

这里需要注意的一点是，如果整数 \( a,b,c \) 满足

\[ac\equiv bc\ \left( mod\ n \right) \]

那么只有当 \(n,c\) 互质时才可以把两边的 \(c\) 直接约掉，得到 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\) ，更一般的

\[a\equiv b\ \left( mod\frac{n}{gcd\left( n,c \right)} \right) \]

4.同余类(Residue class)、完全剩余系(Complete residue system)、缩剩余系(Reduced residue system)

通过一个整数模 \(n\) 的余数，我们可以把所有整数分成 \(n\) 类，记

\[\bar{r}_n=\left\{ m\in Z\ |\ mn+r \right\} \]

为模 \(n\) 余 \(r\) 的同余类（也叫剩余类）。

举个例子

\[4_{10}=\left\{ \cdots ,-16,-6,4,14,24,\cdots \right\} \]

是模 10 余 4 的同余类

从 \( 0_n,1_n,2_n,\cdots ,\overline{\left( n-1 \right) }_n \) 中各挑出一个数就组成了一个模 \(n\) 的完全剩余系（完系） \( R_n \)

\[R_n=\left\{ r_0,r_1,\cdots ,r_{n-1} \right\} \]

其中 \( r_0\epsilon 0_n,r_1\epsilon 1_n,r_2\epsilon 2_n,\cdots ,r_{n-1}\epsilon \overline{\left( n-1 \right) _n} \)

换言之， \(n\) 个模 \(n\) 互相不同余的整数组成一个模 \(n\) 的完全剩余系。

我们称 \( R_n=\left\{ 0,1,\cdots ,n-1 \right\} \) 为模 \(n\)的最小非负完全剩余系（最小非负完系）。

取一个模 \(n\) 的完全剩余系 \( R_n \) ，取出里面所有和 \(n\) 互质的数，这些数组成一个模 \(n\) 的缩剩余系（缩系），记为 \( \varPhi _n \)

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

其中 \( \varphi \left( n \right) \) 是序言里提到的欧拉函数，代表「小于 \(n\) 的正整数中和 \(n\) 互质的数」的个数。

栗子： 假设\( R_6=\left\{ 36_0,7_1,14_2,15_3,22_4,23_5 \right\} \) 为模6的完全剩余系，下标为余数，从里面找出所有和 6 互质的数，组成一个 模 6 的缩剩余系 \( \varPhi _6=\left\{ 7_1,23_5 \right\} \)。我们可以发现1 和 5 也刚好是 \( \varphi \left( 6 \right) =2 \) 结果中的两个与其互质的数。

注意，因为 \( gcd\left( c_i,n \right) =gcd\left( c_i+n,n \right) =1 \) ，每一个模 \(n\) 的缩剩余系有相同数量的元素（缩剩余系中的每一个数所属的同余类是确定的，所以总共有确定的 $\varphi \left( n \right) $ 个同余类）

如果缩剩余系 \(\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\}\) 满足 \( 1\le c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)}\le n-1 \) ，那么称其为模 \(n\) 的最小正缩剩余系（最小正缩系）。

5.欧拉函数(Euler's totient function)

对于正整数 \(n\) ， $\varphi \left( n \right) $代表「小于 \(n\) 的正整数中和 \(n\) 互质的数」的个数，这个函数被称为欧拉函数；欧拉还告诉我们

\[\frac{\varphi \left( n \right)}{n}=\prod_{p|n}{\left( 1-\frac{1}{p} \right)} \]

其中 \(p\) 取到 \(n\) 的所有质因数

所以我们可以很方便的计算一个正整数欧拉函数的值（根据唯一质数分解定理），比如

\[\varphi \left( 1926 \right) =\varphi \left( 2\times 3^2\times 107 \right) =1926\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{3} \right) \left( 1-\frac{1}{107} \right) =636 \]

欧拉定理的证明

考虑模 \(n\) 的最小正缩系

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

已知 \( gcd\left( a,n \right) =1 \) 我们在 \( \varPhi _n \) 的每一个元素前面都乘一个 \(a\)

\[a\varPhi _n=\left\{ ac_1,ac_2,\cdots ,ac_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

利用反证法可以证明 \( a\varPhi _n \) 也是一个模 \(n\) 的缩系（其元素的同余类的顺序有可能会改变，但是这并没有任何影响），假设

\[ac_i=ac_j\ \left( mod\ n \right) \]

其中 \( i\ne j \) ，因为 \(a,n\) 互质可以将两边消去 \(a\)，那么就得到

\[c_i=c_j\ \left( mod\ n \right) \]

这是不可能的，因为 \( \varPhi _n \) 中的元素互相模 \(n\) 不同余，矛盾啦！

接下来的思路就比较清晰了，因为 \( \varPhi _n \) 和 \( a\varPhi _n \) 都是模 \(n\) 的缩系

\[\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\equiv \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{ac_i}=a^{\varphi \left( n \right)}\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\ mod\left( n \right) \]

显然 \( gcd\left( n,\ \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i} \right) =1 \) 所以可以两边消去它

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

补充说明： 因为 \( \varPhi _n \)为最小正缩系【{1，2，3，...，n-1}最小完全剩余系中挑选的与n互质的数组成】， 即 \( a\Phi _n\equiv \Phi _n\left( mod\ n \right) =\Phi _n \) 。那为什么两个缩系各自的乘积取n得模依旧相等？ 例如\( \Phi _3=\left\{ 1,2 \right\} \) 和 \( 2\Phi _3=\left\{ 2,4 \right\} \) 我们发现 ，\( 1\times 2\ mod\ 3=2\times 4\ mod\ 3\ =\ 2 \) 且2，8都3互质。
证毕！

计算

求正整数 \( 3^{83} \) 的最后两位数

按照定义：如果正整数 \(n\) 和 整数 \(a\) 互质，那么就有

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

其中欧拉函数\(\varphi \left( n \right)\) 为 ”小于 \(n\) 的正整数中并且与 \(n\) 互质的数的个数“。

a = 3, n = 100(因为取后面两位数，即mod 100), 且 3 和 100 互质，因此

\[\varphi \left( 100 \right) =100\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{5} \right) =40 \]

\[3^{\varphi \left( 100 \right)}=3^{40}\equiv 1\ \left( mod\ 100 \right) \]

\[3^{83}=3^3\times 3^{80}=3^3\times \left( 3^{\varphi \left( 100 \right)} \right) ^2\equiv 3^3\times 1=27\ \left( mod\ 100 \right) \ \]

参考

对这位的大神仔仔的数学小屋的文章进行了一丢丢修改，只是为了方便自己理解。