百炼成钢八总结

百炼成钢八总结

废话不多说，直接看题。

另外，现在是每道题写完当场写总结，所以每道题都有。

NKOJ 5591 果老师的位运算

假做法

思路：玄学

实现方法

• 全部或起来。

• 为啥呢？

• 因为在数据特别大的时候，几乎每一位都有一个数是 \(1\)，那么全部或起来和删去哪个数区别几乎是没有的。

• 但是样例都过不了

正解

思路：前缀和

实现方法

• 一个数组是前缀和，另一个是后缀和，通过这两个值就能求出当前的或值。

NKOJ 5610 异或序列

思路：双指针

实现方法

• 很明显这道题是让我们看有没有进位。
• 进位就是与运算。
• 很遗憾与运算不符合前缀和的性质，所以与运算不能直接前缀和。
• 好消息是加法和异或都满足，所以可以通过这俩来求与。
• 接下来用双指针锁定区间就好了。

注意事项

1. 不开祖宗见long long。

NKOJ 2221 【位运算】"1"的数量

思路：贪心

实现方法

• 把整个数字的二进制倒过来。

• 然后对于每一个 \(1\) 都去看它后面是谁。

  • 如果是 \(0\) 就和 \(1\) 交换。
  • 如果是 \(1\) 就把它换到最前面去。

• 倒序输出答案。

NKOJ 6404 [CSP-S 2019 Day1]格雷码

思路：位运算

实现方法

• 格雷码的性质是第 \(k\) 个格雷码是 \(k\operatorname{xor}\frac{k}2\) 反过来。

注意事项

1. 开 unsigned long long 因为 long long 只装得下 \(2^{63}\) 。

NKOJ 7363 位运算

思路：位运算

实现方法

• 注意到异或是不进位的加法，与是进位部分的一半。
• 所以有

\[x-2y=x \operatorname{xor} y \]

• 但是在 \(x-2y<0\) 或 \((x-2y) \operatorname{and} y=1\) 时不成立。
• 因为第一种小于零，第二种推倒一下就知道 \(x \operatorname{and} y\) 和 \(x \operatorname{xor} y\) 的数位不可能有一个数位同时为 \(1\)。

NKOJ 47444 异或方程

思路：位运算+组合数学

实现方法

• 这道题中有 \(x\operatorname{xor}y\) 的结果。
• 我们发现如果 \(x \operatorname{xor} y\) 中一定是 \(x\) 和 \(y\) 相同的是 \(0\)，不同的即 \(x\) 是 \(0\) 或 \(y\) 是 \(0\) 是 \(1\)。
• 所以实际上就是将异或结果中的 \(1\) 分配给两个数。
• 用组合数计算即可。
• 注意特判 \(a-b\) 是奇数以及 \(a \operatorname{and} b\) 和 \(a \operatorname{xor} b\) 同时为 \(1\) 的情况。

NKOJ 3679 找数2

思路：位运算

实现方法

• 由于给出了异或值，只需要把它分解为两个完整的数。
• 通过 lowbit 得到异或的第一个 \(1\)。
• 看输入的每一个数能不能和它与成 \(0\) 。
• 如果能，就分到第一个数。
• 不能就分到第二个数。
• 最后出现偶数次的还是会被抵消掉。

注意事项

1. 不要用 bits 或者 iostream！会 MLE 。

NKOJ 3671 最大异或

思路：位运算

实现方法

• 在 \(l\) 和 \(r\) 范围内，能异或的最大值应该是 \(2^x-1\) 唯一问题是不知道 \(x\) 是多少。
• 由于 \(x\) 要越大越好，所以直接去找 \(l\) 和 \(r\) 之间的极限，可以直接将 \(l\) 和 \(r\) 异或，然后看有多少位。

注意事项

1. 记住 1<<x 在 int 范围内，要么用 pow() 要么变成 1<<xLL

NKOJ 3680 找数3

思路：位运算

实现方法

• 这道题实际上和 NKOJ3679 差不多。
• 我们需要提前把 \(1\sim n\) 的异或值求出来。
• 然后和输入值异或。
• 分类的时候需要加入 \(1\sim n\) 的值。

NKOJ 3096 【伪语法基础】输入输出练习3

思路：位运算

实现方法

• 这道题和 NKOJ3679差不多。
• 只是题目中没有把所有数的异或值告诉我们。
• 但是直接去求一遍是不现实的，因为数组都不能开。
• 我们可以直接分类，但是把每种情况都算出来，相当于分64类。
• 再去找有没有合法的。

注意事项

1. 不要用 bits 或者 iostream！会 MLE 。

NKOJ 3098 【伪语法基础】输入输出练习1

思路：位运算

实现方法

• 略

NKOJ 3099 【伪语法基础】输入输出练习2

思路：位运算

实现方法

• 考虑每个二进制位，扫一遍所有数之后

  • 如果某个二进制位上，1出现了3k+0次，则那个数的二进制的这一位是0；

  • 如果某个二进制位上，1出现了3k+1次，则那个数出现了1次，且那个数的二进制的这一位是1；

  • 如果某个二进制位上，1出现了3k+2次，则那个数出现了2次，且那个数的二进制上这一位是1。

  • 如果既有位上1出现3k+1次，又有位上1出现3k+2次，说明程序写错了；

• n可能是3k+1或3k+2，可以帮助判断那个数的次数。

• 开两个变量a1,a2，分别记录哪些位上1出现了3k+1和3k+2次，

• 每次读进来一个x后做相应的更新操作。

• a1' = (a1 ^ (a1 & x)) | (x ^ (x & (a1 | a2)))

• a2' = (a2 ^ (a2 & x)) | (a1 & x)

注意事项

1. 不要用 bits 或者 iostream！会 MLE 。
2. 注意每次赋值的时候会盖住原来的值，所以应该把新值计算完了再赋值。

NKOJ 2223 【位运算】飞行员兄弟的冰箱

思路：DFS

实现方法

• 这道题 DFS 的方法很多，我开始用的错误的一种，导致一直 RE。
• 一种简单的方法是将现在移动的把手的坐标作为 DFS 的值。
• 因为将同一个位置移动两次，就会变回去，所以不会出现重复的情况，只需要考虑移动顺序。
• 然后就是按部就班地写。
  • 如果到边界了，就判断能不能打开冰箱，如果能，就更新答案。
  • 如果没到边界，就考虑当前这个点操不操作，然后递归下去。

NKOJ 3672 "加"与"异或"

思路

• 手玩一下样例就会发现一个奇特的规律，答案就是 \(\frac{A+B}2\) 和 \(\frac{A-B}2\) 。
• 这是为什么呢？
• 因为异或是不进位的加法，与是加法的进位部分的一半。

\[A+B =& \text{不进位的部分}\times2+\text{进位的部分} \\ A-B =& \text{进位的部分} \]

• 所以答案就是这样。
• 那为什么 \(A+B\) 一定是偶数呢？
• 因为如果 \(A+B\) 不是偶数，必然一奇一偶。
• 但是如果 \(A\) 为奇数，那么进位的部分也就是 \(B\) 也是奇数，所以不可能。

实现方法

• 略。

NKOJ 3673 "异或"与"或"

思路：位运算

实现方法

• 这道题其实是在考察或和异或的性质。
• 因为或和异或都不能凭空产生或者消除 \(1\) 。
• 所以如果出现两个字符串有一个全 \(0\) 要变成 \(1\) 那就不行，否则就可以。
• 还有如果长度不一样就想都别想了。