[JLOI2015]装备购买（高斯消元） & 线性空间学习笔记

[JLOI2015]装备购买（luogu）

Description

题目描述

 

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，

用向量 zi​=(a1​,…,aj​,…,am​) 表示 (1≤i≤n, 1≤j≤m)，每个装备需要花费 c_i，

现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。

对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果）

，那么这件装备就没有买的必要了。

严格的定义是，如果脸哥买了 z_i1​​,…,z_ip​​这 p 件装备，那么对于任意待决定的 z_h​，不存在 b_1​,…,b_p​

使得 b_1*​z_i1​​+…+b_p*​z_ip​​=z_h​​​ （b_i均是实数），那么脸哥就会买 z_h​，否则 z_h​ 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子，z_1​=(1,2,3), z_2​=(3,4,5), z_h​=(2,3,4), b_1​=21​, b_2​=21​，

就有 b_1​*z_1​+b_2*​z_2​=z_h​ ，那么如果脸哥买了 z_1​和 z_2​ 就不会再买 z_h​了。

脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

 

输入格式

 

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。

接下来一行 n 个数，其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

 

输出格式

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

 

Solution

（题解部分较简略）

概念

• 线性空间

一个关于向量加法和标量乘法这两个运算封闭的向量集合。

• 生成子集

给定若干个向量a1,a2..,ak，若向量 b 能由它们经过向量加法和标量乘法运算得出，

则称向量 b 能被向量a1,a2..,ak表出，向量a1,a2..,ak能表出的所有向量构成一个线性空间，

向量a1,a2..,ak称为该线性空间的生成子集。

• 线性无关

任意选出线性空间中的若干个向量，如果其中存在一个向量能被其他向量表出，

则称这些向量线性相关，否则称线性无关

• 基

线性无关的生成子集被称为线性空间的基底，简称基。基的另一种定义为线性空间的极大线性无关子集。

一个线性空间的所有基底包含的向量个数都相等，这个数被称为线性空间的维数，可用高斯消元求出

 

把每个装置看做一个 m 维向量

则要求的是 以所有装备为生成子集的 线性空间 的 维数

因为要花钱最少，所以过程中有贪心

 

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
long double a[N][N];
double x;
int n,m,ans,c[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%lf",&x),a[i][j]=x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&x),c[i]=x;
    int dim=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int now=0;
        for(int j=dim+1;j<=n;j++)
            if(fabs(a[j][i])>1e-8 && (now==0 || c[j]<c[now])) now=j;
        if(now==0) continue;
        dim++;
        swap(c[now],c[dim]);
        for(int j=1;j<=m;j++) swap(a[now][j],a[dim][j]);
        ans+=c[dim];
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j==dim || fabs(a[j][i])<=1e-8) continue;
            long double rate=a[j][i]/a[dim][i];
            for(int k=1;k<=m;k++) a[j][k]-=rate*a[dim][k];
        }
    }
    printf("%d %d\n",dim,ans);
    return 0;
}