「学习笔记」泰勒级数

多项式函数是长这样的函数：

\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n \]

它有一个很\(Nice\)的特点：代人\(x\)，在\(O(n)\)的时间内就可以求出\(f(x)\)，没有任何障碍.

但是这样的函数：

\[g(x)=e^x \]

\[h(x)=sin\;x \]

想得到\(g(3)\)或是\(h(7)\)就比较困难了。因此我们需要用多项式函数去"取代"这些奇怪的函数。

逼近\(f(x)=e^x\)在x靠近0时的函数值

step1：用\(y=a_0+a_1x\)去逼近它.

具体的方法是让它的斜率等于\(f(x)\)在\(x=0\)时的导数：1

让直线过\((0,1)\)，于是得到的直线\(y=x+1\)

效果如下图：

在\(x\)离\(0\)很近的时候还是比较精确的.

step2：用\(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\)这个二次多项式去逼近它.

具体方法是让它在\(x=0\)处的函数值、导数值、二阶导数值与\(f(x)\)相等.

\[f(x)=e^x,f(0)=1 \]

\[f'(x)=e^x,f'(0)=1 \]

\[f''(x)=e^x,f''(0)=1 \]

再看这个二次多项式：

\[g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2,g(0)=a_0 \]

\[g'(x)=a_1+2a_2x,g'(0)=a_1 \]

\[g''(x)=2a_2,g''(0)=2a_2 \]

因为要让\(f(x),f'(x),f''(x)\)与\(g(x),g'(x),g''(x)\)分别对应相等，所以：

\[a_0=1,a_1=1,2a_2=1 \]

所以\(g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\)

效果如下图.

已经非常接近了呢.

step3：用\(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3\)这个三次多项式去逼近它.

具体方法是让它在\(x=0\)处的函数值、导数值、二阶导数值、三阶导数值与\(f(x)\)相等.

\[f(x)=e^x,f(0)=1 \]

\[f'(x)=e^x,f'(0)=1 \]

\[f''(x)=e^x,f''(0)=1 \]

\[f'''(x)=e^x,f'''(0)=1 \]

再看这个三次多项式：

\[g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,g(0)=a_0 \]

\[g'(x)=a_1+2a_2x+3a_2x^2,g'(0)=a_1 \]

\[g''(x)=2a_2+,6a_3x,g''(0)=2a_2 \]

\[g'''(x)=6a_3,g'''(0)=6a_3 \]

因为要让\(f(x),f'(x),f''(x),f'''(x)\)与\(g(x),g'(x),g''(x),g'''(x)\)分别对应相等，所以：

\[a_0=1,a_1=1,2a_2=1,6a_3 \]

所以\(g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\)

效果如下图.

最后，推测得出结论:

\[e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots \]

泰勒展开

一般来说，一个奇怪函数\(f(x)\)，可以通过多项式函数\(g(x)\)得到固定点\(a\)的近似值.\(g(x)\)的形式是这样的：

\[g(x)=b_0+b_1(x-a)+b_2(x-a)^2+b_3(x-a)^3+\ldots+b_n(x-a)^n \]

经过和之前相似的一系列的推导（雾），得到了\(famous\)的公式：

泰勒逼近（泰勒展开）。

\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)

把\(a=0\)代人，就得到了：

马克劳林逼近。

\(f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)

泰勒级数的几个例子

泰勒公式基本就是这样了，下面是三个著名泰勒级数：

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots \]

\[sin\;x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \]

\[cos\;x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \]