OI 笑传 #17
1
找到 \(1\sim n\) 中，因数最多的那一个数，如有多个，输出最小的那一个。\(1\le n \le 10^{18}\)。
挺有意思的小思维。
首先我们有关于一个正整数 \(n\) 因数的一些定理：
设
是 \(n\) 的唯一素因数分解式（其中 \(p_i\) 是互不相同的质数，\(a_i \ge 1\)）。
则 \(n\) 的正因数个数为：
\(n\) 的所有正因数之和为：
我们用到第一个式子。
首先根据一个 \(n\) 去确定对应的答案是不好做的。我们尝试定住答案之后构造最小的 \(n\) 使其满足 \(d(n)=ans\)。
有一个观察是 \(ans \le 10^6\)，这个应该是显然的。
构造的方法就是枚举 \(ans\) 的所有分解方法，这样就可以对应到每一个 \(a_i\)，就可以求出 对应的 \(n\)。然后这好像还是很难办。
于是能不能直接构造对应最小的 \(n\) 使其满足 \(d(n)=ans\)？
继续观察，因为因数和式子的形式，里面每一种质因数都是平等的，也就是只与这个质因数的指数有关系。
于是我猜所有最小的 \(n\) 拥有的质因数的最大值一定不会太大，不然当然可以换成一个更小的，因为每一种质因数都是平等的。
不会太大到哪里去？我们从 \(2\) 开始乘质数，你会发现最多乘到 \(57\) 就过 \(10^{18}\) 了。
于是我们只需要 \(2\sim 57\) 这些质数去构造 \(n\) 就行了。
怎么构造？搜索。
而且还有个观察，我们用 \(2\sim 57\) 这些数的次数是单调不升的，还是因为每一种质因数都是平等的，且我们还要让 \(n\) 最小。
于是加上这个剪枝，试了下发现跑得飞快。
把搜出来的最小的 \(n\) 及其答案存到数组里，再做一遍前缀最大值，查询的时候二分即可。
code
Show me the code
#define psb push_back
#define mkp make_pair
#define ls p<<1
#define rs (p<<1)+1
#define rep(i,a,b) for( int i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i,a,b) for( int i=(a); i>=(b); --i)
#define rd read()
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
ll x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int s[1000]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59};
int cnt=0;
int setl[100];
const __int128 lm=1e18;
vector<pair<ll,int> > pans;
void dfs(int p,__int128 ct,ll res){
if(p>17)return ;
while(setl[p]+1<=setl[p-1]&&ct*s[p]<=lm){
if(setl[p]!=0)res/=setl[p];
setl[p]++;
res*=setl[p];
ct*=s[p];
pans.push_back(mkp(ct,res));
dfs(p+1,ct,res);
}
setl[p]=1;return ;
}
vector<pair<ll,int> > pr;
int main(){
setl[0]=114514;
for(int i=1;i<=19;i++)setl[i]=1;
dfs(1,1,1);
sort(pans.begin(),pans.end());
int qmax=1;
pr.push_back(mkp(1,1));
for(int i=0;i<pans.size();i++){
if(pans[i].second>qmax){
pr.push_back(mkp(pans[i].first,pans[i].second));
qmax=max(qmax,pans[i].second);
}
}
int T;cin>>T;
while(T--){
ll rr;cin>>rr;
int p=lower_bound(pr.begin(),pr.end(),mkp(rr,0))-pr.begin();
if(pr[p].first==rr){
cout<<pr[p].first<<' '<<pr[p].second<<'\n';
}
else
cout<<pr[p-1].first<<' '<<pr[p-1].second<<'\n';
}
return 0;
}
2
有 \(n\) 个作业，每个作业 \(i\) 有两个整数属性：
- 难度 \(a_i\)
- 限制值 \(b_i\)
定义一个作业执行顺序为排列：
\[S = (s_1, s_2, \dots, s_n) \]该排列是有效的，若同时满足以下两个条件：
1️⃣ 难度非递减：
\[a_{s_1} \le a_{s_2} \le \dots \le a_{s_n} \]2️⃣ 邻近限制：
对于任意相邻作业 \((s_i, s_{i+1})\)，定义：\[C(i, i+1) = |\{k \mid s_k \in \{s_1, \dots, s_i\}, \; \min(a_{s_i}, a_{s_{i+1}}) \le a_{s_k} \le \max(a_{s_i}, a_{s_{i+1}})\}| \]要求：
\[C(i, i+1) - 1 \le b_{s_i} \]求所有满足条件的作业顺序数量，对 \(4921057\) 取模。
Input
- 第一行：整数 \(n\)；
- 第二行：\(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)；
- 第三行：\(n\) 个整数 \(b_1, b_2, \dots, b_n\)。
Output
输出一个整数，为方案总数模 \(4921057\)。
Constraints
\[1 \le n \le 18 \]\[0 \le a_i, b_i \le 10^9 \]
简单状压。马力即可。
用了 __builtin_popcount() 算二进制 \(1\) 的数量。
code
Show me the code
#define psb push_back
#define mkp make_pair
#define ls p<<1
#define rs (p<<1)+1
#define rep(i,a,b) for( int i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i,a,b) for( int i=(a); i>=(b); --i)
#define rd read()
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
ll x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
const int mod=4921057;
const int N=(1<<19);
const int M=20;
int dp[N][20];
int a[M],b[M];
vector<int> st[M];
int main(){
int n;cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
for(int j=0;j<n;j++)cin>>b[j];
for(int i=0;i<(1<<n);i++){
int cnt=__builtin_popcount(i);
st[cnt].push_back(i);
if(cnt==1){
for(int j=0;j<n;j++){
if((i>>j)&1)dp[i][j]=1;
}
}
}
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int s:st[i]){
vector<int> p;
int cnt[30];
p.clear();memset(cnt,0,sizeof cnt);
for(int j=0;j<n;j++){
if((s>>j)&1)p.push_back(j);
else{
cnt[j+1]=1;
}
cnt[j+1]=cnt[j+1]+cnt[j];
}
for(int u:p){for(int v:p){
if(u==v||dp[s^(1<<v)][u]==0)continue;
if(a[v]<a[u])continue;
if(u<v){
if(cnt[v+1]-cnt[u]>b[v])continue;
}
if(u>v){
if(cnt[u+1]-cnt[v]>b[v])continue;
}
dp[s][v]=(dp[s^(1<<v)][u]+dp[s][v])%mod;
}}
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(dp[(1<<n)-1][i]!=0)
ans+=dp[(1<<n)-1][i];
ans=ans%mod;
}
cout<<ans;
return 0;
}
想起来去年 CSPS 上整的活了，今年还想整活。
浙公网安备 33010602011771号