【学习笔记】从零开始的导数

这段时间学习了一下数学上的导数和导函数,决定写一篇从零开始的学习笔记,保证一个没有学过任何导数知识的初中生只要愿意看都能看懂。

本文主要为了使读者更好地理解,对于概念性的东西可能不甚严谨,抱歉!

如果有关于概念的建议,也欢迎留言建议。

1. 平均变化率

1.1 定义

定义 : 对于一个函数 \(f(x)\), 其在 \([x_1, x_2]\) 的区间内的平均变化值定义为 过 \((x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2))\) 的直线的斜率。(\(x_1≠x_2\)

所以易得到 :(设平均变化率为 \(k\)) \(k = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)

也可以写成 : \(k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) ( \(\Delta y = y_1-y_2=f(x_1)-f(x_2) ; \Delta x= x_1-x_2\))

1.2 图像 & 性质

对于过 \((x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2))\) 的直线,易理解这是函数的一条割线。

1-1.jpg
上图 : 对于函数 \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), 对于这个函数在 \([1, 2]\) 的区间内的平均变化值(过 \((1, \frac{1}{2}), (2, 2)\)) 对应的直线

这个性质看上去没什么用,不过下面的小节我们会了解到这条性质特殊化后的意义(剧透:函数的割线 \(\rightarrow\) 函数的切线)

1.3 应用

除了出题,貌似没有任何应用。

For OIers & ACMers: 洛谷习题 【数学 1.1.1】平均变化率

2. 切线 & 导数

2.1 定义

切线定义 : 对于一个函数 \(f(x)\), 过 \((x_1, f(x_1))\) 且仅过该点的一条直线称为过该点的切线。
导数定义 : 对于一个函数 \(f(x)\), 过 \((x_1, f(x_1))\) 且仅过该点的一条直线的斜率称为过该点的导数。(这跟后面要说的导数有很大不同。事实上,我们一般说的导数(也就是后面要说的)是导函数的简称)

2-1.jpg
如图,为 \(f(x)=x^2\)\((1, 1)\) 处的切线 \(y=2x-1\) (导数为 \(2\))。

但要注意,上述的定义是不严谨的!

2-2.jpg
如图,为 \(f(x)=x^3+2x^2\)\((-1, 1)\) 处的切线 \(y=-x\) (导数为 \(-1\))。可见,该点的切线还过函数另一点 \((0, 0)\)
我不知道如何给出一个规范的定义,暂时也没有查到,查到再补定义的坑吧。(如果有人有好的定义,麻烦评论)

2.3 求法

有了前面“平均变化率”的铺垫,我们可以想到,\(f(x)\)\((x_1, f(x_1))\) 的导数其实可以看成 \(f(x)\)\([x_1, x_1]\) 区间内的平均变化率。

于是尝试计算:\(k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_1)}{x - x} = \frac{0}{0} =\) 无意义

经过思考也可以明白,仅知道一条直线(我们要求的切线)所过的一个点的坐标,是不足以算出其斜率或表达式的。

但是,我们不仅知道 \((x_1, f(x_1))\),还知道 \(f(x)\) 的表达式!

于是历史上一位大牛横空出世,创造了 \(\lim\) 符号。

2.3.1 什么是 lim 符号

对于 $$\lim_{a \rightarrow b}f(a)$$ 来说,其表示的是 \(a\)极限接近\(b\) 时的值。一般的,这里的 \(a\) 若取了 \(b\),则 \(f(a)\) 大概率是无意义的。

2.3.2 用 lim 解决我们的问题

(接下来都以 \(f(x)=x^3+2x^2\)\((-1, 1)\) 的切线为例)

我们假设有一条线经过了两个函数上的点 \((x_1, f(x_1))\)\((x_1 + \Delta x, f(x_1 + \Delta x))\)。理想情况是,当 \(\Delta x = 0\) 时,这条线就是过 \((x_1, f(x_1))\) 的函数切线。

[这句话应该用于导函数处,此处应该经过修改]$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(x + \Delta x)}{x - (x + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\Delta x \rightarrow 0} \frac{x3+2x2 - ((x + \Delta x)^3+2(x + \Delta x)^2)}{-\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x3+2x2 - (x3+2x2+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3+4x\Delta x+\Delta x^2)}{-\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3+4x\Delta +\Delta x^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2+4x+\Delta x=3x^2+4x$$

要理解上面这个式子,【to be continued】

2.4 应用

For OIers & ACMers: 洛谷习题 数学 1.2.1】导数(非导函数) 【数学 1.2.2】函数的切线

// 未完待续

docu

[这句话应该用于导函数处,此处应该经过修改]$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(x + \Delta x)}{x - (x + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\Delta x \rightarrow 0} \frac{x3+2x2 - ((x + \Delta x)^3+2(x + \Delta x)^2)}{-\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x3+2x2 - (x3+2x2+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3+4x\Delta x+\Delta x^2)}{-\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3+4x\Delta +\Delta x^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2+4x+\Delta x=3x^2+4x$$

posted @ 2019-12-31 21:16  航空信奥  阅读(557)  评论(0编辑  收藏  举报