算法笔记:树、堆和图

前面的文章介绍过链表,它其实就是特殊化的树,而树是特殊化的图,堆是一种特殊的树。本文将介绍这几种数据结构。

图-Graph

图的定义

图是一组顶点和一组边的集合,每条边连接一对顶点。在现实生活中,到处都会遇到图网络的概念,将问题空间表示为网络,比如计算机网络,社交网络等,由一个个节点和连接他们的边组成。

图可以表示为Graph(V, E):
1、顶点V (vertex)

  • 出度:顶点的出边条数
  • 入度:顶点的入边条数

2、边E (edge)

  • 有向和无向
  • 权重

图的分类

图主要包括以下几类:

  • 无向无权图:节点之间的连接没有方向,是双向的,边没有权重(也可以说权重为1)。
  • 无向有权图:节点之间的连接没有方向,有权重,比如两个节点间的物理距离。
  • 有向无权图:节点之间通过有向的边连接,只能一个方向。
  • 有向有权图:节点之间通过有向的边连接,有权重。

图的常见算法

DFS-深度优先搜索

深度优先搜索(Depth First Search, DFS)包括:前序遍历Preorder (Root-Left-Right),中序遍历Inorder (Left-Root-Right) 和后序遍历Postorder (Left-Right-Root)。

BFS-广度优先搜索

广度优先搜索(Breadth First Search, BFS):一层一层的遍历。

树-tree

二叉树

树是特殊化的图,由有限个节点组成。最常见的是二叉树,每个节点最多有两个子节点(左子节点,右子节点)组成,一个二叉树节点包含以下部分:

  • 数据
  • 指向左子节点的指针
  • 指向右子节点的指针

python二叉树定义:

class BinaryTree:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

二叉树遍历

和图的搜索一样,二叉树的搜索也可以使用以下两种遍历搜索方式:

  • 深度优先搜索
  • 广度优先搜索

深度优先搜索包括前序遍历,中序遍历和后序遍历,每个节点访问一次,且仅访问一次。

  • 前序遍历:根左右
  • 中序遍历:左根右
  • 后序遍历:左右根

二叉搜索树

二叉搜索树(Binary Search Tree),也称二叉排序树、有序二叉树(Ordered Binary Tree)、排序二叉树(Sorted Binary Tree),是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树:

  1. 左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
  2. 右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
  3. 左、右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树的搜索、插入、移除等操作的动画演示:https://visualgo.net/zh/bst

复杂度分析

# 堆-Heap 堆是可以迅速找到一堆数中的最大或者最小值的数据结构,根节点最大的堆叫大顶堆或大根堆,根节点最小的堆叫做小顶堆或小根堆。常见的堆有二叉堆(Binary heap)、斐波那契堆(Fibonacci heap)等,下面主要介绍二叉堆。 ## 二叉堆 二叉堆是一种特殊的二叉树,和二叉搜索树不同,是一颗完全二叉树。以大顶堆为例,二叉堆满足下列性质: - 是一棵完全二叉树 - 树中任意节点的值总是 >= 其子节点的值

二叉堆一般都通过数组来实现,上图的二叉堆可表示为一维数组:[99, 90, 85, 50, 70, 60, 30, 20, 40] 。可以发现其索引具有以下关系:

  • 根节点(顶堆元素):a[0]
  • 索引为i的左孩子的索引是(2*i+1)
  • 索引为i的右孩子的索引是(2*i+2)
  • 索引为i的父结点的索引是floor((i-1)/2)

二叉堆常见操作

对二叉堆的常见操作包括查找(最大值)、删除(最大值)和插入,他们的时间复杂度分别为O(1)、O(logN)和O(logN)。

  • 对于插入操作,元素先插入到堆的尾部,然后依次向上调整(与父节点进行比较、交换)整个堆的结构(一直到根)。
  • 对于删除操作,先删除堆顶元素,接下来将堆尾元素替换到顶部,然后依次从根部向下调整(和子节点比较,将较大的子节点和它交换)整个堆的结构(一直到堆尾)

二叉堆是用于实现优先队列(priority queue)的数据结构,优先队列中的元素被赋予优先级,具有最高优先级的元素最先删除,具有最高级先出(first in, largest out)的特性。但是二叉堆不是优先队列的最优实现,插入效率较低,比如斐波那契堆(Fibonacci heap)具有更优的性能。

https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure)
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posted @ 2021-05-20 21:40  测试开发小记  阅读(93)  评论(0编辑  收藏  举报