【JZOJ4820】【NOIP2016提高A组模拟10.15】最大化

题目描述

输入

输出

样例输入

3 2
4 0
-10 8
-2 -2

样例输出

4

数据范围

解法

枚举两条扫描线，在这两条扫描线之间的矩阵，可以将之转化为一个序列b[i]=a[i][1..m]。
然后矩阵上的问题就转化成序列上的问题：
给定一个序列，求最长的连续子序列的和为正数的长度。

---

考虑到是所有区间问题，考虑分治。
对于一个区间[l,r]，要求的是跨两半部分的最长长度。
先求出以mid为右端点的最长子区间；
设一个指针指向mid，考虑右移指针。
如果新加入元素是小于0，那么答案不会更优，左指针肯定要右移至少一位才会使得答案平衡；
如果新加入元素大于0，那么考虑把左指针一直左移直到合法子区间极大。
由于左指针至多左移2∗n，时间复杂度为O(nlogn)。

---

总的时间复杂度为O(n3logn)。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ln(x,y) ll(log(x)/log(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="max.in";
const char* fout="max.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=307;
ll n,m,i,j,k,ans;
ll a[maxn][maxn],b[maxn],sum[maxn][maxn];
ll solve(ll l,ll r){
    ll i=0,j=0,k=0,y=0,mid=(l+r)/2,tmp,tmd=0;
    if (l==r) return b[l]>0?1:0;
    tmp=max(solve(l,mid),solve(mid+1,r));
    k=y=0;
    for (i=mid;i>=l;i--){
        k+=b[i];
        if (k>0) tmd=mid-i+1,y=k;
    }
    tmp=max(tmp,tmd);
    j=mid-tmd+1;
    i=k=0;
    for (i=mid+1;i<=r;i++){
        k+=b[i];
        if (b[i]>0){
            while (j>l && k+y+b[j-1]>0) y+=b[--j];
        }else if (b[i]==0){
        }else if (j<mid && k+y<=0) y-=b[j++];
        if (k+y>0) tmp=max(tmp,i-j+1);
    }
    return tmp;
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&a[i][j]),sum[i][j]=a[i][j]+sum[i][j-1];
    for (i=1;i<=m;i++)
        for (j=i;j<=m;j++){
            for (k=1;k<=n;k++) b[k]=sum[k][j]-sum[k][i-1];
            ans=max(ans,solve(1,n)*(j-i+1));
        }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

启发

当要处理子矩阵问题时，可以用两条扫描线把问题转化到序列上。
处理所有区间问题可以考虑分治。