（自用）CSP-J-2023-1小苹果 题解

题目描述

小 Y 的桌子上放着 n 个苹果从左到右排成一列，编号为从 1 到 n。
小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 1 个苹果开始、每隔 2 个苹果拿走 1 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。
小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 n 的苹果是在第几天被拿走的？

输入输出

• 输入的第一行包含一个正整数 n，表示苹果的总数。
• 输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 n 的苹果是在第几天。
• 样例

样例输入1
8
样例输出1
5 5

样例输入2
1000
样例输出2
16 1

• 数据范围
  

题目分析

从第1个苹果开始，每隔2个拿走1个苹果。这样的拿法实际上等价于把苹果每3个分一堆，在里面拿第一1个。也就是每次拿第 \(3k+1\) 个苹果\(（k=0,1,2,……）\)。注意不是原本编号为 \(3k+1\) 的苹果，而是桌子上现有的苹果的第 \(3k+1\) 个。

如果桌子上现有的苹果数 \(n\) 恰好能被3整除，那么正好是每3个拿1个，拿走的苹果数目是 \(\frac{1}{3}n\)；

如果不能被3整除，由于每次拿的是3个苹果里的第一个，所以每3个一堆拿走第1个之后，还要在不足3个的那一堆拿走第一个，最后拿走的苹果数目是 \(\lfloor\frac{n}{3}\rfloor+1\)；

计算总天数只需每次从现有的苹果数中减去每天拿走的个数，然后天数+1，直到 \(n≤0\) 即可。

取到苹果 \(n\) 是第几天

对于苹果 $n $，要想正好在某一天取到，它当天必须位于第 \(3k+1\) 个苹果的位置。并且由于它是原先所有苹果中最后一个，取的时候仅有两种可能：要么取到的是苹果 \(n\)，要么取到的是苹果 \(n\) 之前的苹果。所以，没取走苹果n之前它会一直在最后的位置，据此得到取到苹果 \(n\) 的必要条件是，当天桌子上应当有且仅有 \(3k+1\) 个苹果。
而在所有“桌子上有且仅有 \(3k+1\) 个苹果”的日子里，还必须保证是首次出现 \(3k+1\) 个苹果的那天。否则苹果 \(n\) 已经被取走了，当天取到的虽然是桌子上现有的最后一个苹果，但不是原先的苹果里的最后一个（即苹果 \(n\) ）

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int apple_num = n;
    int day = 0,day_n = 0;
    while(n>0) {
        day++;  // 总天数
        if(n%3) {
            // 因为隔2拿1（每3个拿最后1个），所以想要拿到第n个，必须剩余水果数除3恰好余1
            // 并且必须是之前没有出现过这种情况，否则第n个拿走了，拿到的不是第n个
            if(n%3==1&&!day_n) day_n = day;
            n-=n/3+1;   // 这一轮拿走的苹果数
        }
        // 剩余水果数能被3整除，则直接拿走1/3的水果
        else n-=n/3;
    }
    cout << day << ' ' << day_n;
    return 0;
}