不用加号的加法

题目描述

Write a function that adds two numbers. You should not use + or any arithmetic operators.

Note:

• a and b may be 0 or negative.
• The result fits in 32-bit integer.

解题思路

不用加法运算符实现加法，我们来看计算机底层是如何实现加法的。

1+1=10、1+0=1、0+1=1、0+0=0在这四种情况中，若不考虑进位，则
1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0。我们可以看到在不考虑进位的情况下，两二进制位相加的结果就是异或的结果。
而如果考虑进位，那么只有1+1的情况下有进位，即&运算为1，代表进位。

考虑数A、B，其二进制表示:\(A_2\)、\(B_2\)。则有：

\[A_2+B_2=(A_2 {\wedge} B_2)+(A_2{\&}B_2)<<1 \]

\(A_2 {\wedge} B_2\)表示不带进位的数，\((A_2{\&}B_2)<<1\)表示进位数。
两者相加即为结果。
例如，要计算：1101+1001
不考虑进位：1101^1001=0100
考虑进位：1101&1001=1001，而1001<<1=10010
两者求和：0100+10010=10110即为结果。

但是上面对进位和不进位的两部分求和还是用到了加法，不能用加法怎么办？递归地将两部分视为新的\(A_2\)、\(B_2\)，直到进位为0。

考虑负数和0？由于计算机底层采用补码，符号位参与运算，因此，上述方法对于计算正负数还是0的加法没有区别。

代码

递归版

class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        if((a & b) == 0){
            return a ^ b;//没有进位，直接返回
        }
        return add(a ^ b,(a & b) << 1);
    }
}

非递归版

class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        while(b!=0){
            int tmp = a ^ b;//不考虑进位
            b = (a & b) << 1;//单独考虑进位
            a = tmp;//由于不能相加，递归地计算进位和不进位的值
        }//直到进位为0
        return a;
    }
}