多项式理论 PartⅢ- 浅谈多项式计算中的转置原理与基础多项式复合

目录

• 一、转置原理
• 二、转置原理优化多项式多点求值
• 三、基础多项式复合与转置原理

一、转置原理

称一个算法是线性算法当且仅当其运算只有初等变换（交换内存中的两个值，将一个值乘上 \(k\)，将一个值加上另一个值 \(\times tk\)），例如，用于维护区间加区间求和的线段树和 NTT 是线性算法，将内存值中的值写作一个列向量，则其相当于每次左乘一个初等矩阵，由矩阵乘法结合律知若将输入变量视作 \(\vec v\)，则所求为 \(A\vec v\)，其中 \(A\) 由算法流程决定。

一个算法的转置问题为求 \(A^\mathsf{T}\vec v\)，则对应的转置算法即为 \(v^\mathsf{T}\) 倒序乘上每个初等矩阵的转置（除第三类变换外，其余两类初等矩阵对称），这能够解决原问题的转置问题，例如前缀和和后缀和互为转置算法。

因此，要解决原问题，可以考虑优化原问题的转置问题，再将其转置为原问题的算法。

二、转置原理优化多项式多点求值

记给定点值为 \(a\)，多项式的阶为 \(n\)（\(n\) 与 \(|a|\) 同阶），\(x^i\) 项的系数为 \(f_i\)，所求答案的列向量为 \(b\)，不妨假设 \(|a|=n\)，则有：

\[\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n\\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n\\ 1 & a_3 & a_3^2 & \cdots & a_3^n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_0\\ f_1\\ f_2\\ \vdots\\ f_n \end{bmatrix} = b \]

其转置矩阵 \(A^\mathsf{T}\) 为：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1^n & a_2^n & a_3^n & \cdots & a_n^n \end{bmatrix} \]

其意义即为对于求 \(\forall k\in[0,n]\)，求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}f_ia_i^k\)。

设答案序列的生成函数 \(G(x)\)，则 \(G(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{f_i}{1-a_ix}\)，这可以直接分治计算做到 \(\mathcal{O}(n\log^2n)\)。

三、基础多项式复合与转置原理

在 2025 年的中国国家集训队论文《转置原理在一类动态规划问题中的应用》中提到，转置原理可以用于优化一类动态规划问题，

待更新。

后续可能会更新生成函数再入门（OGF，EGF，PGF，Euler 变换等），以及 ODE,d-finite 自动机，常系数非齐次线性递推，洛朗展开，拉格朗日反演，多项式复合，微分方程之类的，超几何函数，特殊数之类的，看情况吧。

orz EI！！！