拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：

作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹

：

另外, 满足▽·▽f=0 的函数f, 称为调和函数.

 

二维空间

其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标：

另外极坐标的表示法为：

三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

 

N 维空间

在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。