n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

近日在复习数据结构，看到栈的时候，发现1个元素进栈，有1种出栈顺序；2个元素进栈，有2种出栈顺序；3个元素进栈，有5种出栈顺序，那么一个很自然地问题就是n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

 

f(1) = 1     //即 1

f(2) = 2     //即 12、21

f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231

 1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

 2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，     根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

 3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

    根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

 4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即         f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即

 

 

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但这只是一个递推公式（若编程实现，需要维护一个一维数组，时间复杂度为O(n^2)）。怎么把它转化为通项公式呢，复杂度仅为O(1)?

于是上网搜索一下，原来真的有这么一个公式：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n里取n），并且有个名字叫Catalan数。附上wiki的链接，写得太详细了：http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number  

现在的问题就是：怎么从上述的递推公式求出C(2n,n)/(n+1) ? 有兴趣的朋友欢迎留言讨论！

//2013.6.4 update

根据网友u010896627的思路，我抽象了下问题，在知乎上问了个问题，其中有一个答案提出了“折现法”，从几何上推出了“n个元素进栈有多少个出栈顺序”这个问题的答案是C(2n,n)-C(2n,n-1)，化简一下即得Catalan number。推荐大家看一看。