数分

16.1

• 内点：存在点的邻域在E的内部

• 外点：存在点的邻域与E没有交集

• 界点：所有邻域和E有交集

• 聚点：任何空心邻域有无数个点

• 孤立点：存在空心邻域与E交集为空

• 开集：E所有的点都属于E

• 闭集：E所有的聚点都属于E

• 开域：非空连通开集

• 必域：开域+边界

当且仅当存在各点互不相同的点列\({P_n}\subset E,P_n\ne P_0,\lim\limits_{n\rightarrow \infty} P_n=P_0\)时，\(P_0\)是\(E\)的聚点

点列\({P_n(x_n,y_n)}\)收敛于\(P_0(x_0,y_0)\)的充要条件是\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0\)和\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=y_0\)

16.2

• 计算重极限：\(x-x_0\rightarrow x\cos\theta,~y-y_0\rightarrow y\sin\theta\)

17.1

• 计算偏微分(定义)：\(\lim\limits_{\vartriangle x\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+\vartriangle x ,y_0)-f(x_0,y_0)}{\vartriangle x}\)
• 证明连续：\(f(x_0,y_0) = \lim\limits_{r\rightarrow0}f(r\cos\theta, r\sin \theta)\)
• 证明可微：\(\lim\limits_{\triangle x\rightarrow0\\\triangle y\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\vartriangle x,y_0+\vartriangle y)-f(x_0,y_0)-A\triangle x-B\triangle y}{\sqrt{\triangle x^2+\triangle y^2}} = 0\) , 用16.2换元。
• 切平面：\(z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
• 法线：\(\dfrac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\dfrac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\dfrac{z-z_0}{-1}\)

17.2

• \(\dfrac{\partial z}{\partial s}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial s}\)

17.3

• 方向导数：\(\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} = f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos\beta +f_z(P_0)\cos \gamma\)

  \(\cos x,y,z=\dfrac{x,y,z}{\|l\|}\)

• 梯度：\(grad~f=(f_x,f_y,f_z)\)

• 梯度的方向是\(f\)增长最快的方向。