【JZOJ5458】质数【数论，数学】

题目大意:

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5458
题目图片：
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求$L$到$R$中是质数或是两个质数之积的数的个数。

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思路：

首先，观察最大数据：
$L\leq R\leq 10^7,Q\leq 10^5$
那么肯定是要离线做的。
肯定是要先筛质数，那么就用线性筛，不仅得到$1$到$R$之间的质数，还得到了每个数的最小质因数
那么对于一个数$x$

• 如果它是质数，那么就很明显$ans++$

• 如果它不是质数：

  • 我们知道了这个数的最小质因数$v[x]$，那么如果它符合题目的要求就必然有$x=prime[i]\times prime[j]$。我们又知道$v[x]|x$且是质数，所以说，如果要符合题意，就有$x=v[x]\times prime[j]$，即$prime[j]=x\div v[x]$。所以说，如果$x\div v[x]$是质数，那么就$ans++$
  • 否则不合法。

那么我们可以求出前缀和$s$，$s[i]$表示$1$到$R$中间有多少符合要求的数。然后$O(1)$回答即可。
时间复杂度：$O(10^7)$（固定值，其实是$O(R)$）

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 10000100
#define MAXN 10000000
#define ll long long
using namespace std;

int sum,v[N],prime[N],s[N],l,r,n;
bool isp[N];

int f;
char c;

int read()  //输入流
{
	c=getchar();
	f=0;
	while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while (c>='0'&&c<='9') 
	{
		f=f*10+(c-'0');
		c=getchar();
	}
	return f;
}

int write(int x)  //输出流
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}

void find()
{
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)  //线性筛
	{
		if (!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++sum]=i;
			isp[i]=1;
		}
		for (int j=1;j<=sum;j++)
		{
			if (prime[j]>MAXN/i) break;
			if (prime[j]>v[i]) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)
	 if (isp[i]||isp[i/v[i]])  //符合要求
	  s[i]=s[i-1]+1;
	 else s[i]=s[i-1];
}

int main()
{
	find();
	n=read();
	while (n--)
	{
		l=read();
		r=read();
		write(s[r]-s[l-1]);
		putchar(10);
	}
	return 0;
}