洛谷P4726 【模板】多项式指数函数

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4726

多项式牛顿迭代http://blog.miskcoo.com/2015/06/polynomial-with-newton-method

公式:$F(z) \equiv F_0(z) - \frac{G(F_0(z))}{G'(F_0(z))} \pmod {z^n}$

(以下截图自金策2015论文)

(研究了很久都没有明白那个泰勒展开的求导为什么是对的...好像是把A(x)当成了”常数项“...?把f看成”变量“???但是g这个函数应该是输入一个函数输出一个函数吧,根本就不是一般的函数,真的能求导吗?但是这种做法的确具有通用性,在多项式开根等也可以用,很迷)

upd190323:大概感受了一下,以下是口胡:

首先,假设x是常数。设y=f(x),现在f没有确定,因此y不是常数。g(y)=ln(y)-A(x),其中A(x)是常数

现在,对于这个确定的x可以用牛顿迭代求出y的零点。$g(y_0)+g'(y_0)(y-y_0)=0$,$y=y_0-\frac{g(y_0)}{g'(y_0)}$

可以发现,对于每一个x,每一次迭代求出来的y是固定的。每一次迭代求出的y与x之间存在一个函数关系。

因此,如果x不是常数,仍然可以用这样的方法做多项式牛顿迭代。

不过,就算求导是错的,最后的结论式子也应当是对的?直接两边求ln?(好像也不对)不懂...先鸽着吧)

式子可以写成$f(x)=f_0(x)+f_0(x)(A(x)-ln(f_0(x))$,可以先算$A(x)-ln(f_0(x))$,根据牛顿迭代那套理论这个后面一半全是0,可以用来简单优化常数

当然,输入多项式要求常数项是0(因为要求模意义下常数的exp,这个只能对0求),输出多项式常数项就是1

(式子里面$ln(f_0(x))$求的是长度为len的ln(设$f_0$的长度为len/2,空的部分补0),不是特别懂

版本1:基于版本3

  1 #prag\
  2 ma GCC optimize(2)
  3 #include<cstdio>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<vector>
  7 #include<cmath>
  8 using namespace std;
  9 #define fi first
 10 #define se second
 11 #define mp make_pair
 12 #define pb push_back
 13 typedef long long ll;
 14 typedef unsigned long long ull;
 15 const int md=998244353;
 16 const int N=262144;
 17 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 18 inline int del(int a,int b)
 19 {
 20     a-=b;
 21     return a<0?a+md:a;
 22 }
 23 int rev[N];
 24 void init(int len)
 25 {
 26     int bit=0,i;
 27     while((1<<(bit+1))<=len)    ++bit;
 28     for(i=0;i<len;++i)
 29         rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
 30 }
 31 ull poww(ull a,ull b)
 32 {
 33     ull base=a,ans=1;
 34     for(;b;b>>=1,base=base*base%md)
 35         if(b&1)
 36             ans=ans*base%md;
 37     return ans;
 38 }
 39 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 40 {
 41     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
 42     for(i=0;i<len;++i)
 43         if(i<rev[i])
 44             swap(a[i],a[rev[i]]);
 45     for(i=1;i<len;i<<=1)
 46     {
 47         wn=poww(idx==1?3:332748118,(md-1)/(i<<1));
 48         for(j=0;j<len;j+=(i<<1))
 49         {
 50             wnk=1;
 51             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
 52             {
 53                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
 54                 a[k]+=t2;
 55                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
 56                 a[k+i]=t1-t2;
 57                 (a[k+i]<0) && (a[k+i]+=md);
 58             }
 59         }
 60     }
 61     if(idx==-1)
 62     {
 63         ull ilen=poww(len,md-2);
 64         for(i=0;i<len;++i)
 65             a[i]=a[i]*ilen%md;
 66     }
 67 }
 68 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2len(需要足够长用于临时存放元素) ;要求len是2的幂
 69 {
 70     static int t1[N],t2[N];
 71     g[0]=poww(f[0],md-2);
 72     for(int i=2,j;i<(len<<1);i<<=1)
 73     {
 74         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
 75         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
 76         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 77         init(i);
 78         dft(t1,i,1);dft(t2,i,1);
 79         for(j=0;j<i;++j)
 80             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 81         dft(t1,i,-1);
 82         for(j=0;j<(i>>1);++j)
 83             t1[j]=t1[j+(i>>1)];
 84         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 85         dft(t1,i,1);
 86         for(j=0;j<i;++j)
 87             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 88         dft(t1,i,-1);
 89         for(j=i>>1;j<i;++j)
 90             g[j]=md-t1[j-(i>>1)];
 91     }
 92 }
 93 int inv[300011];
 94 inline void p_de(int *f,int len)//derivative求导;f=f'
 95 {
 96     for(int i=0;i<len-1;++i)
 97         f[i]=ll(i+1)*f[i+1]%md;
 98     f[len-1]=0;
 99 }
100 inline void p_in(int *f,int len)//integral积分;f=?f
101 {
102     for(int i=len-1;i>=1;--i)
103         f[i]=ll(f[i-1])*inv[i]%md;
104     f[0]=0;
105 }
106 void p_ln(int *f,int len)//要求len为2的幂
107 {
108     static int t3[N];
109     p_inv(f,t3,len);p_de(f,len);
110     init(len<<1);
111     dft(f,len<<1,1);dft(t3,len<<1,1);
112     for(int i=0;i<(len<<1);++i)
113         f[i]=ull(f[i])*t3[i]%md;
114     dft(f,len<<1,-1);p_in(f,len);
115 }
116 void p_exp(int *f,int *g,int len)//要求len为2的幂,f[0]=0
117 {
118     static int t1[N],t2[N],t3[N];
119     g[0]=1;
120     for(int i=2,j;i<(len<<1);i<<=1)
121     {
122         memcpy(t3,g,sizeof(int)*(i>>1));
123         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
124         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
125         memset(g+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
126         p_ln(g,i);
127         for(j=0;j<(i>>1);++j)
128             t1[j]=del(f[j+(i>>1)],g[j+(i>>1)]);
129         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
130         init(i);
131         dft(t1,i,1);dft(t2,i,1);
132         for(j=0;j<i;++j)
133             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
134         dft(t1,i,-1);
135         memcpy(g,t3,sizeof(int)*(i>>1));
136         for(j=(i>>1);j<i;++j)
137             g[j]=t1[j-(i>>1)];
138     }
139 }
140 int a[N<<1],b[N<<1];
141 int n,n1;
142 int main()
143 {
144     int i,t;
145     inv[1]=1;
146     for(i=2;i<=300000;++i)
147         inv[i]=ull(md-md/i)*inv[md%i]%md;
148     scanf("%d",&n);n1=n;
149     for(i=0;i<n;++i)
150         scanf("%d",a+i);
151     for(t=1;t<n;t<<=1);
152     n=t;
153     p_exp(a,b,n);
154     for(i=0;i<n1;++i)
155         printf("%d ",b[i]);
156     return 0;
157 }
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版本2:基于此题版本1

  1 #prag\
  2 ma GCC optimize(2)
  3 #include<cstdio>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<vector>
  7 #include<cmath>
  8 using namespace std;
  9 #define fi first
 10 #define se second
 11 #define mp make_pair
 12 #define pb push_back
 13 typedef long long ll;
 14 typedef unsigned long long ull;
 15 const int md=998244353;
 16 const int N=262144;
 17 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 18 inline int del(int a,int b)
 19 {
 20     a-=b;
 21     return a<0?a+md:a;
 22 }
 23 int rev[N];
 24 void init(int len)
 25 {
 26     int bit=0,i;
 27     while((1<<(bit+1))<=len)    ++bit;
 28     for(i=1;i<len;++i)
 29         rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
 30 }
 31 ull poww(ull a,ull b)
 32 {
 33     ull ans=1;
 34     for(;b;b>>=1,a=a*a%md)
 35         if(b&1)
 36             ans=ans*a%md;
 37     return ans;
 38 }
 39 int inv[300011];
 40 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 41 {
 42     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
 43     for(i=0;i<len;++i)
 44         if(i<rev[i])
 45             swap(a[i],a[rev[i]]);
 46     for(i=1;i<len;i<<=1)
 47     {
 48         wn=poww(idx==1?3:332748118,(md-1)/(i<<1));
 49         for(j=0;j<len;j+=(i<<1))
 50         {
 51             wnk=1;
 52             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
 53             {
 54                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
 55                 a[k]+=t2;
 56                 (a[k]>=md)&&(a[k]-=md);
 57                 a[k+i]=t1-t2;
 58                 (a[k+i]<0)&&(a[k+i]+=md);
 59             }
 60         }
 61     }
 62     if(idx==-1)
 63     {
 64         ull ilen=inv[len];
 65         for(i=0;i<len;++i)
 66             a[i]=a[i]*ilen%md;
 67     }
 68 }
 69 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2len(需要足够长用于临时存放元素);要求len是2的幂
 70 {
 71     static int t1[N],t2[N];
 72     g[0]=poww(f[0],md-2);
 73     for(int i=2,j;i<=len;i<<=1)
 74     {
 75         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
 76         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
 77         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 78         init(i);
 79         dft(t1,i,1);dft(t2,i,1);
 80         for(j=0;j<i;++j)
 81             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 82         dft(t1,i,-1);
 83         for(j=0;j<(i>>1);++j)
 84             t1[j]=t1[j+(i>>1)];
 85         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 86         dft(t1,i,1);
 87         for(j=0;j<i;++j)
 88             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 89         dft(t1,i,-1);
 90         for(j=i>>1;j<i;++j)
 91             g[j]=md-t1[j-(i>>1)];
 92     }
 93 }
 94 inline void p_de(int *f,int len)//derivative求导;f=f'
 95 {
 96     for(int i=0;i<len-1;++i)
 97         f[i]=ull(i+1)*f[i+1]%md;
 98     f[len-1]=0;
 99 }
100 inline void p_in(int *f,int len)//integral积分;f=?f
101 {
102     for(int i=len-1;i>=1;--i)
103         f[i]=ull(f[i-1])*inv[i]%md;
104     f[0]=0;
105 }
106 void p_ln(int *f,int len)//要求len为2的幂,f[0]=1
107 {
108     static int t3[N];
109     p_inv(f,t3,len);p_de(f,len);
110     init(len<<1);
111     dft(f,len<<1,1);dft(t3,len<<1,1);
112     for(int i=0;i<(len<<1);++i)
113         f[i]=ull(f[i])*t3[i]%md;
114     dft(f,len<<1,-1);p_in(f,len);
115 }
116 void p_exp(int *f,int *g,int len)//要求len为2的幂,f[0]=0
117 {
118     static int t1[N],t2[N];
119     g[0]=1;
120     for(int i=2,j;i<=len;i<<=1)
121     {
122         memcpy(t1,g,sizeof(int)*(i>>1));
123         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
124         p_ln(t1,i);
125         for(j=0;j<(i>>1);++j)
126             t1[j]=del(f[j+(i>>1)],t1[j+(i>>1)]);
127         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
128         init(i);
129         dft(t1,i,1);
130         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
131         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
132         dft(t2,i,1);
133         for(j=0;j<i;++j)
134             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
135         dft(t1,i,-1);
136         for(j=i>>1;j<i;++j)
137             g[j]=t1[j-(i>>1)];
138     }
139 }
140 int a[N],b[N];
141 int n,n1;
142 int main()
143 {
144     int i,t;
145     inv[1]=1;
146     for(i=2;i<=300000;++i)
147         inv[i]=ull(md-md/i)*inv[md%i]%md;
148     scanf("%d",&n);n1=n;
149     for(i=0;i<n;++i)
150         scanf("%d",a+i);
151     for(t=1;t<n;t<<=1);
152     n=t;
153     p_exp(a,b,n);
154     for(i=0;i<n1;++i)
155         printf("%d ",b[i]);
156     return 0;
157 }
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posted @ 2019-03-21 17:23  hehe_54321  阅读(280)  评论(0编辑  收藏  举报
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