基本定理 2015/01/03

富比尼定理：

不适定问题

不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。

大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。

反问题有两种形式：一，已知系统和输出求输入（最普遍的形式），二，系统未知的情况。许多反问题很难被解决，但是有些反问题却很容易得到答案。显然，人们对比很难解决的问题更有兴趣。那些很难被解决的问题被称为不适定的。

一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。但是，病态问题却不一定是不适定的（通过改变问题的形式往往可以改善病态问题）。在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。但通过使用先验知识，有希望得到一个接近准确解答的答案。 　　

求解不适定问题的普遍方法是:用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。

 

正则化方法

如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov 正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,　　正则化:Normalization通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。 　　

即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ:C*→PC^2,使得σ(C*)=C 　　

严格的定义如下: 　　设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。如果存在紧Riemann面C*及全纯映射σ:C*→PC^2,使得

　　　　　　　　　　(1) σ(C*)=C

　　　　　　　　　　(2) σ^(-1)(S)是有限点集

　　　　　　　　　　(3) σ:C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射 　　

　　　　　　　　　　则称(C*,σ)为C的正则化。不至于混淆的时候，也可以称C*为C的正则化。 　　

正则化的做法，实际上是在不可约平面代数曲线的奇点处，把具有不同切线的曲线分支分开，从而消除这种奇异性。[1]

正则化方法 Regularization Method

正则化算子 regularizing operator

正则化(regularization)是一项处理无限大、发散以及一些不合理表示式的方法，其方法透过引入一项辅助性的概念——正则化因子(regulator)。举例来说，若短距离物理效应出现发散，则设定一项空间中最小距离来解决这情形。正确的物理结果是让正则化因子消失(此例是) 的极限情形，不过正则化因子的用意就在于当它是有限值，理论结果也是有限值的。正则化是将数学中的发散级数的可和性方法(summability methods)用在物理学问题上。 然而，理论结果通常包含了一些项，是正比于例如的式子，若取极限则会没有良好定义。

正则化是获得一个完整、有限且有意义的结果的第一步；在量子场论，通常会接着一个相关但是独立的技术方法称作重整化(renormalization)。重整化则是基于对一些有着类似表示式的物理量的要求，要求其应该等于观测值。如此的约束条件则允许我们计算一些看似发散的物理量的有限值。