普及组计数题合集

我也就只配做简单的数数题了。

Arena

设 \(f_{i,j}\) 表示当前考虑 \(i\) 个英雄，这 \(i\) 个英雄初始血量最大值为 \(j\) 的方案数。
显然第一轮中，每个英雄血量都会减少 \(i-1\)：

• 若 \(i-1\ge j\)，所有英雄都会在第一轮死亡，显然合法，方案数为 \(j^i-(j-1)^i\)；
• 否则，考虑枚举这一轮后存活的英雄数量 \(k\)，这 \(k\) 个英雄剩余血量一定是 \(j-(i-1)\)，而死去的 \(i-k\) 个英雄的血量可以在 \([1,i-1]\) 中随意选取，总方案数为
  \[\sum_{k=2}^i\binom{i}{k}f_{k,j-(i-1)}\times (i-1)^{i-k} \]

时间复杂度 \(O(n^2x)\)。

[NOIP2024] 遗失的赋值

首先判一元限制冲突的情况。
考虑 \(n-1\) 个二元关系：

• 若 \(i\) 和 \(i+1\) 位置都存在一元限制，方案数为 \(v\times (v-1)+1\)；
• 否则，考虑将一元限制排序：
  第 \(i\) 个和第 \(i+1\) 个一元限制之间有 \(l=c_{i+1}-c_i\) 组二元限制，若不设任何限制有 \(v^{2l}\) 种方案，其中不合法的方案一定是从 \(c_i\) 一直限制到 \(c_{i+1}\)，总共 \(v^{l-1}\times (v-1)\) 种。

全部乘起来即可。

分割（divide）

容易发现，一组合法方案的 \(d\) 一定都相同。所以考虑按深度计算，设当前考虑深度 \(dep\)。
可以考虑钦定了 \(d_1\) 后确定剩余 \(k-1\) 个的选取方案数，最后再乘上 \((k-1)!\) 即为排列数。
设 \(maxdep_u\) 为 \(u\) 子树中深度最大的节点的深度，将同层的节点的 \(maxdep\) 排序，设当前考虑的 \(maxdep\) 为 \(b\)，大于 \(b\) 的同层节点有 \(sum\) 个，同层中 \(maxdep=b\) 的节点为 \(c_b\) 个，钦定 \(d_1\) 为 \(maxdep=b\) 的节点，则方案数为

\[c_b\times\left(\binom{c_b+sum-1}{k-1}-\binom{sum}{k-1}\right) \]

因为除 \(d_1\) 所对的节点外至少要再选 \(1\) 个 \(maxdep=b\) 的才能满足限制，特别地，\(c_b=k-1\) 时，可以令包含根节点的连通块满足限制，就不需要减 \(\dbinom{sum}{k-1}\) 了。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

首先是一些显然的观察：
\(k\in [2,n]\)。即可满足限制 1。
每行最多选择 \(1\) 个，即可满足限制 2。我们记 \(sum_i\) 为 第 \(i\) 行的 \(a_{i,j}\) 之和，加上不选一共 \(sum_i+1\) 种方案。
故满足限制 1、2 的方案数为

\[\prod_{i=1}^n (sum_i+1)-1 \]

每列最多选择 \(\left\lfloor \cfrac{k}{2}\right\rfloor\) 个，即可满足限制 3。
限制 3 难以刻画，所以我们考虑容斥，即计算存在一列选择的数量大于 \(\left\lfloor \cfrac{k}{2}\right\rfloor\) 个的方案数。不难发现若存在这种情况，必然只会有一列选择的数量大于 \(\left\lfloor \cfrac{k}{2}\right\rfloor\)。
考虑枚举这一列，设当前枚举到 \(l\) 这一列：
（以下 \(k\) 的含义改变，请注意）
设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行，第 \(l\) 列选择了 \(j\) 个，除第 \(l\) 列选择了 \(k\) 个的方案数。转移是容易的：

\[f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}+f_{i-1,j-1,k}\times a_{i,l}+f_{i-1,j,k-1}\times(sum_i-a_{i,l}) \]

时间复杂度 \(O(n^3m)\)。
考虑优化。发现我们最后算答案时不关心 \(j,k\) 的值，只关心其大小关系，所以重新设计状态：
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 行，第 \(l\) 列比其他列多选 \(j\) 个：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times a_{i,l}+f_{i-1,j+1}\times (sum_i-a_{i,l}) \]

为了防止访问负下标，可以令数组第二维整体偏移 \(n\)。时间复杂度 \(O(n^2m)\)。