理解海明校验法

奇偶校验法只能发现错误，而不能找到错误在哪里，进而没有纠错功能。

为了能找到发现错误的位置，而有了海明校验法。

海明校验码分为两个部分：n个有效信息位（用D_nD_n-1...D₁表示），k个校验位（用P_kP_k-1...P_1表示）。

n与k的关系是：n+k≤2^k-1。因为k个校验码可以表示2^k个状态，其中一个状态表示正确状态，其他的用于表示是哪一位（包括有效信息位和校验位）发生了错误。

这个基本思路还是比较好理解的，但奈何书还是看不懂。

下面是我经过思考后的，比较说得通的海明校验法理解法。

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现有有效信息位D₄D₃D₂D₁，n=4，则k=3，校验位为P₃P₂P₁，形成7位海明校验码H₇H₆H₅H₄H₃H₂H₁。

为了检查接收到的海明校验码是否正确，方法就是再计算一遍校验位P₃'P₂'P₁'，与P₃P₂P₁比较，如果不同，代表发生了错误。

比较结果有8种情况，即：

P1'!=P1	P2'!=P2	P3'!=P3
否	否	否
否	否	是
否	是	否
否	是	是
是	否	否
是	否	是
是	是	否
是	是	是

表1

P1'是否不等于P1，可以用逻辑运算异或来表示——不等为1，相等为0。

设S_i = P_i' xor P_i，则上表可以表示为：

S3	S2	S1
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

表2

 对于这8种状态，除了000用于表示没有错误之外，其它每种状态应表示海明校验码的某一位发生了错误：

S3	S2	S1	含义
0	0	0	没有错误
0	0	1	H1发生错误
0	1	0	H2发生错误
0	1	1	H3发生错误
1	0	0	H4发生错误
1	0	1	H5发生错误
1	1	0	H6发生错误
1	1	1	H7发生错误

表3

三个校验位本身也可能发生错误，为了直观表示，将001、010、100表示为P₁、P₂、P₃发生了错误。那么对应地，它们分别在海明校验码中占据H₁、H₂、H₄三个位，其余的位分配给有效信息位。如下：

海明校验码	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
实际分配	D4	D3	D2	P3	D1	P2	P1

表4

接着分析有效信息位发生错误的情况：

S3	S2	S1	含义
0	1	1	H3发生错误
1	0	1	H5发生错误
1	1	0	H6发生错误
1	1	1	H7位发生错误

表5

可以看出：

• H₃应该是计算P₂和P₁的因子，即如果H₃发生变化，则P₂和P₁就相应发生变化，从而导致S₂和S₁变为1。
• H₅应该是计算P₃和P₁的因子，即如果H₅发生变化，则P₃和P₁就相应发生变化，从而导致S₃和S₁变为1。
• H₆应该是计算P₃和P₂的因子，即如果H₆发生变化，则P3和P₂就相应发生变化，从而导致S₃和S₂变为1。
• H₇应该是计算P₃、P₂和P₁的因子，即如果H₇发生变化，则P₃、P₂和P₁就相应发生变化，从而导致S₃、S₂和S₁变为1。

因此由以下对应关系：

校验位	H3	H5	H6	H7
P1	√	√		√
P2	√		√	√
P3		√	√	√

表6

可以发现，表5和表6就是一个旋转关系。

表6可表示为：

• P₃ = f(H₅,H₆,H₇)
• P₂ = f(H₃,H₆,H₇)
• P₁ = f(H₃,H₅,H₇)

那么这个f法则具体是怎样的呢？虽然书上说的是异或操作，但我觉得不是异或操作也没关系。只要保证一旦其中一个因子发生变化，计算结果就发生变化即可。

综上，海明校验法的原理就是对校验结果的8种状态的分配，而校验位的计算只要注意与特定的有效信息位相关联即可，校验法则只要记住官方（姑且这么叫吧）使用的是异或即可。