树、二叉树、查找算法总结

树、二叉树、查找算法总结

一:思维导图

二:重要概念笔记

    1. 定义:是n(>=0)个结点的有限集合T,对于任意一棵非空树,满足:①有且仅有一个特定的根结点②当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm,其中每个集合本身又是一棵树,称为根的子树。

    2. 结点的度:结点拥有的子树数。叶子(或终端)结点:度为零的结点。分支(或非终端)结点:度大于零的结点。

    3. 树的度:树中所有结点的度的最大值。结点的子树的根称为该结点的孩子结点 。相应的,该结点称为孩子的双亲结点。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。

    4. 森林:是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。

    5. 树的存储结构

      双亲表示法:快速找到双亲结点

      typedef struct PTNode {
            Elemtype data;
            int parent;   
      } PTNode; 
      

      孩子链表表示法:快速查找到每个结点的孩子结点

      typedef struct CTNode {
          int child;
          struct CTNode *next;
      } *ChildPtr;
      typedef struct {
         Elemtype data;
         ChildPtr firstchild; 
      } CTBox;
      

      孩子-兄弟表示法:左孩子右兄弟

      typedef struct CSNode{
         Elemtype data;
         struct CSNode  *firstchild, *nextsibling;
      } CSNode, *CSTree;
      
    6. 树的遍历和二叉树遍历的对应关系:

      树: 先根遍历 后根遍历

      森林: 先序遍历 中序遍历

      二叉树:先序遍历 中序遍历

      ps:树的后根遍历与对应二叉树的中根遍历顺序是一致的

  1. 二叉树

    1. 定义:是n(n>=0)个结点的有限集合,它或为空 树(n=0),或由一个根结点和至多两棵称为根的 左子树和右子树的互不相交的二叉树组成。 注:二叉树中不存在度大于2的结点,并且二叉树 的子树有左子树和右子树之分。

    2. 性质:① 在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结 点(i≥1)。②深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结 点(k≥1)。 ③对任何一棵二叉树,若它含有n0 个叶子 结点、n2 个度为2的结点,则必存在关系式:n0 = n2+1。 ④(完全二叉树的性质):具有n个结点的完全二叉树的深度为 (log2n)+1。 ⑤(完全二叉树的性质):若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且 从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中 任意一个编号为 i 的结点: (1)若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲,否 则,编号为i/2的结点为其双亲结点;

      (2)若 2i>n,则该结点无左孩子,否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;

      (3)若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点,否则,编 号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

    3. 特殊二叉树:

      满二叉树:指的是深度为k且含有2k-1个结点的二 叉树。

      完全二叉树:树中所含的 n 个结点和满二叉树中 编号为 1 至 n 的结点一一对应。

    4. 存储结构:

      顺序存储:一组地址连续的存储单元存储各结点(如一维数组) ;自根而下、自左而右存储结点;按完全二叉树上的结点位置进行编号和存储。缺点:空间利用率低。

      链式存储二叉链表

      typedef struct BiTNode { 
      	TElemType data; 
      	struct BiTNode *lchild, *rchild; 
      } BiTNode, *BiTree;
      

      三叉链表:

    5. 遍历二叉树

      先序遍历:

      void Preorder (BiTree T) { 
      	if (T) { 
      		cout<<T->data;
      		//先访问结点
      		Preorder(T->lchild);
      		Preorder(T->rchild); 
      	}
      }
      

      中序遍历:

      void Inorder (BiTree T) {
      	if (T) { 
      		Inorder(T->lchild); 
      		cout<<T->data;
          	        Inorder(T->rchild);
                 }
      }
      

      后序遍历:

      void Inorder (BiTree T) {
      	if (T) { 
      		Inorder(T->lchild); 
      		Inorder(T->rchild);
      		cout<<T->data;
                 }
      }
      
    6. 线索二叉树:指向该线性序列中的“前驱”和 “后继” 的指针, 称作“线索”。线索二叉树能简化找到下一个节点的这个过程。

      typedef struct BiThrNod { 
      	TElemType data; 
      	struct BiThrNode *lchild, *rchild;           int LTag, RTag;
      	/*当Tag=1,说明该处无孩子结点,为线索*/
      } BiThrNode, *BiThrTree;
      
  2. 二叉排序(查找)树

    1. 二叉排序树:或者是一棵空树;或者是具有如下特性的二叉树:若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。它的左、右子树也都分别是二叉排序树。
    2. 特点:中序遍历得到一个关键字递增的有序序列
    3. 二叉排序树实现:
  3. 哈夫曼树

    1. 结点的路径长度:从根结点到该结点的路径上分支的数目。

      树的路径长度:树中每个结点的路径长度之和。

      树的带权路径长度(WPL):树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

    2. 构造:选取其根结点的权值最小的两棵二叉树,分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树,并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。

    3. 哈夫曼编码:关键要设计长度不等的编码,则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀,出现频率越大的字符,其哈夫曼编码越短。

  4. 平衡二叉树

    1. LL/RR平衡旋转

    2. LR/RL平衡旋转

  5. B-树和B+树

    1. :一个节点可放多个关键字,降低树 的高度。数据可放外存,适合大数据量查找。节 点数据从外存中读取,一次读取多个,效率高。

    2. B-树特点:非根结点孩子结点个数至少为m/2,至多m;关键字个数至少m/2-1,至多m-1;根结点至少两个孩子结点

      typedef struct BTNode { 
      	int  keynum;
      	struct BTNode *parent; 
      	KeyType key[m]; 
      	struct BTNode *ptr[m]; 
      	Record *recptr[m]; 
      } BTNode, *BTree; 
      

      • B-插入:在查找不成功之后,需进行插入。关键字插入的位 置必定在叶子结点层,有下列几种情况:插入后,该结点的关键字个数n<m-1,不修改指针; 插入后,该结点的关键字个数 n=m-1,则需进行 “结点分裂”。分裂过程,如果没有双亲结点,新建一个双亲结点,数的高度增加一层;如果有双亲结点,将k插入双亲结点中。
    3. B+树:B+树中所有非叶子节点仅起到索引的作用。通常在B+树上有两个头指针,一个指向根节点, 另一个指向关键字最小的叶子节点,所有叶子节 点链接成一个不定长的线性链表。

  6. 顺序查找

    1. 以顺序表或线性链表表示静态查找表

    2. int LocateELem(SqList L,ElemType e) { 
      	for (k = 1; k <= L.length; k++) {
      		if (L.elem[k] == e) 
      		return k;
      		}           
      	return 0; 
      }
      
    3. 平均查找长度ASL=n+1/2

  7. 折半查找

    1. int Search_Bin ( SSTable ST, KeyType key ) { 	low = 1;  
      	high = ST.length;     
      	while (low <= high) { 
      		mid = (low + high) / 2; 
      		if (EQ (key , ST.elem[mid].key) ) 
      			return  mid;
      		else  if ( LT (key,ST.elem[mid].key) ) 
      			high = mid - 1;
      			//在前半区间查找
      		else  low = mid + 1; 
      		//在后半段区间进行查找
      	} 
      	return 0;
      } 
      
    2. 平均查找长度ASL≈log2(n+1)-1

  8. 线性索引查找

    1. 分块索引

    2. 倒排索引:广泛适用于搜索引擎

    3. 稠密索引

  9. 哈希表

    1. 哈希函数H(key):映像,一般情况下,容易产生哈希冲突。关键字选取构造方法一般有:直接定址法(H(key) =key或者H(key)=a × key+b)、数字分析法、平方取中法、折叠法(移位叠加和间界叠加)、除留余数法(最常用H(key)=key MOD p,p应为不大于m 的素数)、随机数法(H(key)=Random(key))。

    2. 处理冲突:

      • 开放定址

        线性探测再散列 di = c × i 最简单的情况c= 1
        二次探测再散列 di = 12, -12, 22, -22 , …, ± k 2 , ( k ≤ m / 2)

        随机探测再散列 di 是一组伪随机数列 或者 di =i × H 2 (key) (又称双散列函数探测)

        ASL计算eg:

      • 再哈希法

      • 链地址法

        将所有哈希地址相同的记录都链接在统一链表中。

        ASL计算eg:

      • 建立公共溢出区

    3. MD5:一种算法,可以将一个字符串,或 文件,或压缩包,执行md5后,就可以生成一个固 定长度为128bit的串。

三:疑难问题及解决方案

  1. 设一组初始记录关键字集合为(25,10,8,27,32,68),散列表的长度为8,散列函数H(k)=k mod 7,要求:1.分别用线性探测法和链地址法作为解决冲突的方法设计哈希表。2.计算线性探测法和链地址法成功和不成功的ASL。

    我的答案:

    正确答案:

    解决方法:

    重新细看了超星的视频以及老师的课件,问同学,最后知道ASL失败的正确算法。因为一开始我把他和二叉排序树的ASL计算混合在一起了。

posted @ 2020-04-26 17:18  羊腿桂鱼yu  阅读(312)  评论(0编辑  收藏  举报