[国家集训队] Crash 的文明世界

题目链接

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4827

Solution

套路题，直接上斯特林数把指数搞成组合数：

\[\begin{align} S(i)&=\sum_{j=1}^{n}d(i,j)^k\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{t=1}^{k}s_2(k,t)\binom{d(i,j)}{t}t!\\ &=\sum_{t=1}^ks_2(k,t)t!\sum_{j=1}^{n}\binom{d(i,j)}{t} \end{align} \]

注意到\(k\)很小，我们考虑\(dp\)，设后面一块为\(f\)，并且只算子树的贡献，即：

\[\begin{align}f_{x,t}&=\sum_{i\in subtree}\binom{d(i,x)}{t}\\&=\sum_{i\in subtree}\binom{d(i,x)-1}{t-1}+\binom{d(i,x)-1}{t}\\&=\sum_{i\in son}f_{i,t}+f_{i,t-1}\end{align} \]

然后同样的思路做一遍二次换根就好了。

复杂度\(O(nk)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxn = 5e4+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e4+7;

int f[maxn][160],g[maxn][160],n,k,s[160][160],fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn];
int head[maxn],tot,r[160];
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<1];

void add(int u,int v) {e[++tot]=(edge){v,head[u]},head[u]=tot;}
void ins(int u,int v) {add(u,v),add(v,u);}

void prepare() {
    s[0][0]=fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(j*s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;
    for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=k;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<=k;i++) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}

void dfs(int x,int fa) {
    f[x][0]=1;
    for(int v,i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if((v=e[i].to)==fa) continue;dfs(v,x);
        for(int t=1;t<=k;t++)
            f[x][t]=(f[x][t]+f[v][t]+f[v][t-1])%mod;
        f[x][0]=(f[x][0]+f[v][0])%mod;
    }
}

void dfs2(int x,int fa) {
    for(int i=0;i<=k;i++) g[x][i]=f[x][i];
    if(fa) {
        r[0]=(g[fa][0]-f[x][0])%mod;
        for(int i=1;i<=k;i++) r[i]=(g[fa][i]-f[x][i]-f[x][i-1])%mod;
        g[x][0]=(g[x][0]+r[0])%mod;
        for(int i=1;i<=k;i++) g[x][i]=(g[x][i]+r[i]+r[i-1])%mod;
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) if(e[i].to!=fa) dfs2(e[i].to,x);
}

int main() {
    read(n),read(k);
    for(int i=1,x,y;i<n;i++) read(x),read(y),ins(x,y);
    prepare();
    dfs(1,0),dfs2(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int ans=0;
        for(int t=1;t<=k;t++) ans=(ans+s[k][t]*fac[t]%mod*g[i][t])%mod;
        write((ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}