杨辉三角

这两天在某位老师的提点下突然想起来了杨辉三角,这个东西并不陌生,其实在高中数学中就有所接触。

首先我们得先想明白杨辉三角的规律(总结来自百度百科):

前提:每行端点与结尾的数为1.

  1. 每个数等于它上方两数之和。
  2. 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
  3. 第n行的数字有n项。
  4. 第n行数字和为2n-1
  5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
  6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。
  7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)
  8. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
  9. 将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
  10. 将各行数字相排列,可得11的n-1(n为行数)次方:1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质,此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位,然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...,以此类推,把空位用“0”补齐,然后把所有的数加起来,得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例,第十一行的数为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,结果为 25937424601=1110

下面我们来看看代码(本人使用Visual Stdio 2017 Community):

其实,这段代码到第18行就达成目的了,只不过为了输出更加美观又加了循环输出空格。我选择用多维数组来表示这个二维的数字矩阵,首先把每一行的开始和结束赋值为1,前两行毫无疑问的被number[i][0]=1和number[i][i]=1赋值为1,第三行开始嵌套的for循环开始起作用,将中间部分按照上一行相邻两个数相加的规则进行计算和赋值,直到最外层的for循环结束,完成二维数字矩阵的赋值过程。

这个数字矩阵在输出的时候如果没有加以修饰的话,应该是个直角三角形,就像这样:

虽说也是杨辉三角但不标准,所以我们应该用一些空格来修饰它,打印方式是毋庸置疑的嵌套for循环打印。

这就好看了不少!

当然,这个数字矩阵的规模是可控的,为了保险起见,我用const int锁定了规模,而没有用更人性化的scanf来让用户自定义规模,矩阵也用的long long int型。所以控制规模的关键当然是修改length的值啦!(注意值也不能太大,如果超过了窗口显示区域会造成三角形畸形,其次是要保证矩阵里每一个值都不要超过long long int的最大值9223372036854775807

 

posted @ 2018-05-31 19:30  信赖骑士弗莱彻  阅读(760)  评论(0编辑  收藏  举报