杨辉三角

这两天在某位老师的提点下突然想起来了杨辉三角，这个东西并不陌生，其实在高中数学中就有所接触。

首先我们得先想明白杨辉三角的规律（总结来自百度百科）：

前提：每行端点与结尾的数为1.

1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3. 第n行的数字有n项。
4. 第n行数字和为2^n-1。
5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8. (a+b)ⁿ的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10. 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=11¹⁰。

下面我们来看看代码（本人使用Visual Stdio 2017 Community）：

其实，这段代码到第18行就达成目的了，只不过为了输出更加美观又加了循环输出空格。我选择用多维数组来表示这个二维的数字矩阵，首先把每一行的开始和结束赋值为1，前两行毫无疑问的被number[i][0]=1和number[i][i]=1赋值为1，第三行开始嵌套的for循环开始起作用，将中间部分按照上一行相邻两个数相加的规则进行计算和赋值，直到最外层的for循环结束，完成二维数字矩阵的赋值过程。

这个数字矩阵在输出的时候如果没有加以修饰的话，应该是个直角三角形，就像这样：

虽说也是杨辉三角但不标准，所以我们应该用一些空格来修饰它，打印方式是毋庸置疑的嵌套for循环打印。

这就好看了不少！

当然，这个数字矩阵的规模是可控的，为了保险起见，我用const int锁定了规模，而没有用更人性化的scanf来让用户自定义规模，矩阵也用的long long int型。所以控制规模的关键当然是修改length的值啦！（注意值也不能太大，如果超过了窗口显示区域会造成三角形畸形，其次是要保证矩阵里每一个值都不要超过long long int的最大值9223372036854775807）