从今天开始学高代2还来得及。

\[\renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \newcommand{\bx}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\ex}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bv}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\ev}{\end{vmatrix}} \newcommand{\span}{\text{span}} \newcommand{\lb}{\lambda} \newcommand{\gm}{\gamma} \newcommand{\ap}{\alpha} \newcommand{\bt}{\beta} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\tr}{\text{tr}} \newcommand{\diag}{\text{diag}} \newcommand{\rank}{\text{rank}} \newcommand{\lV}{\lVert} \newcommand{\rV}{\rVert} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\sg}{\sigma} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\zhong}{\Phi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ra}{\Rightarrow} \newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow} \newcommand{\d}{\text{d}} \newcommand{\df}{\dfrac} \]

复正规算子

对一个算子 \(\vp\) 如果满足：

\[\vp\vp^*=\vp^*\vp \]

则称其是正规的。其在任一组标准正交基下都对应正规矩阵。

其含有 \(n\) 个正交的特征向量，并且在这组基下是对角阵。

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考虑其对应的矩阵 \(A\)，在标准正交基下其伴随 \(A^*\) 是共轭转置。

这就是在说 \(AA^*=A^*A\)。

注意这里不是指 \(A\) 是 正交矩阵！

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Schur 定理

设 \(\vp\) 是酉空间上的线性算子。存在一组标准正交基使得 \(\vp\) 是上三角矩阵。

证明：归纳。注意是酉空间，于是 \(\vp^*\) 存在特征值和特征向量。取 \(\vp^*(e)=\lb e\)。

取 \(W=e^{\bot}\)。注意 \(\span\{e\}\) 对于 \(\vp^*\) 是不变子空间，则 \(W\) 对于 \(\vp\) 是不变子空间。

于是就可以归纳：把 \(\vp\) 限制在 \(W\) 上即可。

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注意和 "复矩阵都相似于上三角矩阵" 的证明区分！这里没有保证是酉相似。

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实正规算子

接下来看实的情况：

设 \(\vp\) 是欧氏空间 \(V\) 上的正规算子。令 \(g\) 是极小多项式。

\(g_i(x)\) 是 \(g\) 互不相同的的首一不可约因式。且 \(W_i=\Ker g_i(\vp)\)。

则：

1. \(g(x)=\prod g_i(x), \deg g_i(x) \le 2\)
2. \(V = W_1 \bot \cdots \bot W_k\)
3. \(W_i\) 是不变子空间。设 \(\vp_i=\vp|_{W_i}\) 则是正规算子且 \(g_i\) 是其极小多项式。

证明：

(1)
显然其对应的正规矩阵 \(A\) 在复数域上酉相似于对角阵，因此极小多项式无重根。自然成立。

(2)

设 \(f_i = g/g_i\)，则存在多项式 \(h_i\)：

\[\sum f_i(x)h_i(x) = 1 \]

我们有这样的引理：对一个正规算子 \(\vp\) 假设 \(f,g\) 互素则 \(\Ker f,\Ker g\) 正交。这就说明 \(W_i\) 彼此正交。

我们注意 \(g_i(\vp)f_i(\vp)h_i(\vp)(v)=0\) 即 \(f_i(\vp)h_i(\vp)(v) \in \Ker g_i(\vp)=W_i\)。

这就是说 \(\forall v,v \in W_1+\cdots+W_n\)。由于前面的正交可以换成：

\[V = W_1 \bot \cdots \bot W_k \]

（其实我猜也可以从块的角度说。懒得写了）

(3)

懒得写了。

---

下面仔细分析结构：

先从一个块开始：

假设一个正规算子 \(\vp\) 适合：

\[g(x)=(x-a)^2+b^2 \]

取 \(v\in V, u= b^{-1}(\vp-aI)(v)\)，则 \(\lV u \rV = \lV v \rV, u \bot v\)。

\[\vp(v)=av+bu,\vp(u)=-bv+au\\ \vp^*(v)=av-bu,\vp^*(u)=bv+au\\ \]

然后，我们考虑对应多个的情况：

假设一个正规算子 \(\vp\) 的极小多项式为：

\[g(x)=(x-a)^2+b^2 \]

则存在 n/2 个二维子空间 \(V_1 \bot \cdots \bot V_s(=V)\) 使得每个 \(V_i\) 都有标准正交基 \((u_i,v_i)\) 满足上面的条件。

进而，在 \(V\) 的标准正交基 \((u_1,v_1,\cdots,u_{n/2},v_{n/2})\) 下的表示矩阵是:

\[\diag\{\bx a & b\\-b & a\ex, \cdots\} \]

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合起来总之是：

存在标准正交基使得表示矩阵是分块矩阵，每个块要么是一个数要么长得和上面那个 2*2 的一样。

谱分解

谱分解定理

对一个 \(\C\) 上正规算子（\(\R\)上自伴随算子）\(\vp\)，设 \(\lb_i\) 是全部特征值，\(W_i\) 是对应特征子空间，设 \(E_i\) 是对应的正交投影，则：

\[\vp = \sum \lb_i E_i \]

推论：\(\vp\) 是正规算子，等价于存在复系数多项式 \(f\) 满足 \(f(\vp)=\vp^*\)。

证明：

只需说明必要性：

设 \(f_t(x)=\sum_{i\not=t} \dfrac{\lb_i-x}{\lb_i-\lb_t}\)，注意 \(E_t=f_t(\vp)\)。

只需取 \(f(x)=\sum \ol{\lb_i}f_i(x)\) 自然 \(f(\vp)=\vp^*\)。

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称自伴算子 \(\vp\) 正定自伴，若 \(\forall \ap\not=0,(\vp(\ap),\ap)>0\)。

这相当于表示矩阵是正定的。

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极分解定理

设 \(\vp\) 是任一线性算子，则存在 \(V\) 上的酉算子（正交算子）\(\om\) 和半正定自伴随算子 \(\psi\) 满足：

\[\vp=\om\psi \]

这里 \(\psi\) 唯一，若 \(\vp\) 非异，则 \(\om\) 也唯一。

---

首先注意 \(\vp^*\vp=\psi^2\)，因此 \(\vp^*\vp\) 是半正定自伴随的。

因此我们可以用谱分解唯一确定 \(\psi\)。

若 \(\psi\) 非异，注意 \((\psi(v),\psi(v))=(\vp(v),\vp(v))\) 进而等价于 \(\vp\) 非异。

于是取 \(\om=\vp\psi^{-1}\) 即可。

若 \(\psi\) 并非非异，设 \(W=\Im \psi\)：

取映射 \(f: W \to \Im \vp\) 满足：

\[f(\psi(u))=\vp(u) \]

取映射 \(g: W^{\bot} \to (\Im \vp)^{\bot}\) 是一个任一保积同构（注意维数相等故必存在）

只需取 \(\om(x)=f(a)+g(b)\) 其中 \(x=a+b\) 且适合定义域。

容易验证 \((w(v),w(v))=(v,v)\) 故 \(w\) 是酉的。\(\#\)

推论

对实矩阵 \(A\) 存在正交矩阵 \(Q\) 和半正定实对称阵 \(S\) 满足 \(A=QS\)。

对复矩阵 \(B\) 存在酉矩阵 \(U\) 和半正定 Hermite 阵 \(H\) 满足 \(B=UH\)。

\(A,B\) 非异时，有唯一性。

奇异值分解

对一个 \(m \times n\) 的实矩阵 \(A\)，如果存在非负实数 \(\sg\) 以及向量 \(\ap,\bt\) 满足：

\[A\ap = \sg\bt\\ A'\bt = \sg\ap \]

则称 \(\sg\) 是 \(A\) 的奇异值，\(\ap,\bt\) 成为 \(A\) 关于 \(\sg\) 的 右/左 奇异向量

几何上，取标准正交基，令 \(\vp\) 是 \(A\) 对应的线性变换，自然 \(\vp^*\) 对应 \(A'\) 自然：

\[\vp(u)=\sg v\\ \vp^*(v) = \sg u \]

注意 \(\vp\vp^*\) 是半正定子伴随的且：

\[\vp\vp^*(v)=\sg \vp(u)=\sg^2 v \]

这就知 \(v\) 是 \((\vp\vp^*)\) 属于 \(\sg^2\) 的特征向量。

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定理

设 \(V,U\) 是 \(n,m\) 维欧氏空间，一个线性映射 \(\vp: V \to U\)，则存在 \(V,Y\) 的标准正交基使得 \(\vp\) 的表示矩阵为：

\[\bx S & 0\\ 0 & 0 \ex \]

其中：

\[S=\diag\{\sg_1,\cdots,\sg_r\} \]

这里 \(\sg_1 \ge \cdots \ge \sg_r >0\) 是 \(\vp\) 的非 0 奇异值。

证明:

注意 \(\vp^*\vp\) 是半正定自伴随的，自然存在 \(V\) 的正交基 \((e)\) 使得其表示矩阵是 \(X=\diag\{\lb_1,\cdots,\lb_r,0,\cdots,0\}\) 即 \(\vp^*\vp(e_i)=\lb_i e_i\)。

取 \(\sg_i=\sqrt \lb_i\)，注意 \(\lV \vp(e_i)\rV^2=\lb_i=\sg_i^2\) 于是 \(\lV \vp(e_i)\rV=\sg_i\)。

又注意 \((\vp(e_i),\vp(e_j))=0\)，于是将它们标准化：

\[f_i=\dfrac{1}{\sg_i}\vp(e_i), i = 1,\cdots,r \]

随意扩张出一组标准正交基就满足：

\[\vp(e_i)=\sg_if_i \]

自然：

\[\vp^*(f_i)=\sg_ie_i \]

很神奇吧！

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代数形式如下:

对任意的 \(m\times n\) 实矩阵 \(A\) 存在正交矩阵 \(P,Q\) 满足：

\[P'AQ=X=\bx S & 0\\0& 0 \ex \]

\(S\) 的定义见上。

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计算上，先求 \(A'A\) 的正交相似标准型即 \(Q\) 满足 \(Q'A'AQ=W=S^2\)。

令 \(Q=(\ap_1,\cdots,\ap_n)\)，取 \(\bt_i=\dfrac{1}{\sg_i}A\ap_i\) 并扩张成正交标准基。

最后取 \(P=(\bt_1,\cdots,\bt_m)\) 即可。

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注意也有：

\[A=(PQ)(Q'XQ) \]

显然 \(PQ\) 正交，\(Q'XQ\) 半正定实对称，这就给出了一个极分解。