我要学高代1

\(\newcommand{\span}{\text{span}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bx}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\ex}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bv}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\ev}{\end{vmatrix}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \newcommand{\rank}{\text{rank}} \newcommand{\tr}{\text{tr}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\vf}{\varphi} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\diag}{\text{diag}} \newcommand{\ol}{\overline}\)

线性映射

线性映射 \(\varphi: V\to U\) 是满足：

\[\varphi(a)+\varphi(b)=\varphi(a+b)\\ k\varphi(a)=\varphi(ka)\\ \]

的映射。每个线性映射可以看作与一个矩阵相对应。

线性变换是 \(V=U\) 时的线性映射。

同构

称 \(\varphi\) 是同构，意味着 \(\varphi\) 是双射。

表示矩阵

在 \(V\) 上给出一组基 \((e_1,\cdots,e_n)\)，在 \(U\) 上给出一组基 \((f_1,\cdots,f_m)\)。

给出在 \(V \to U\) 上的线性变化 \(\varphi\)。

表示矩阵帮助我们对任意的 \(\alpha\in V\)，根据 \(\alpha\) 在 \(e\) 上的坐标，求出 \(\varphi(\alpha)\) 在 \(f\) 上的坐标。

令 \(A\) 是 \(\varphi\) 在 \(E,F\) 下的表示矩阵：

\[\alpha =\sum \lambda_ie_i=\lambda^T E\\ \varphi(\alpha) = \sum \mu_if_i=\mu^T F\\ \mu = A\lambda \]

考虑如何求表示矩阵：

设 \(\varphi(E)=MF\)。

\[\varphi(\lambda^T E)=\lambda^TMF = \mu^T F \]

这就意味着：

\[A=M^T \]

我们此后将这个表示矩阵记为 \(\varphi_A\)（太奇怪了，为什么用自己命名）。

交换图

令 \(\eta_1\) 表示在 \(e\) 下的求坐标运算，\(\eta_2\) 表示在 \(f\) 下的求坐标运算。

我们就有 \(\varphi_A\eta_1=\eta_2\varphi\)。

像、核

设 \(\varphi: V \to U\)。

\(\varphi\) 的像是其值域集合，记作 \(\Im\varphi(\subseteq U)\)。

\(\varphi\) 的核是一个定义域的子集，满足映射到 \(0\)，记作 \(\Ker\varphi(\subseteq V)\)。

秩、零度

\(\varphi\) 的秩定义为 \(\Im\varphi\) 的维数。

\(\varphi\) 的零度定义为 \(\Ker\varphi\) 的维数。

线性映射维数公式

\[\dim \Im \varphi = \rank(A)\\ \dim \Ker \varphi = n-\rank(A)\\ \]

结合得到：

\[\dim \Ker \varphi+\dim \Im \varphi = \dim V \]

计算像空间、核空间

求出表示矩阵 \(A\)，做高斯消元，设 \(A=(A_1,\cdots,A_m)\)，且 \((A_1,\cdots,A_s)\) 线性无关。

考虑已知了 \(E\) 上的坐标 \(x\)，我们现在要求的就是 \(Ax\) 的取值集合。

因此 \(Im \varphi\) 就是 \((A_1f_1,\cdots,A_sf_s)\) 的线性组合。

为了计算 \(\Ker \varphi\)，我们转而考虑计算 \(Ax=0\) 的解。

设 \(x\) 解的一组基为 \((\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\)，于是 \(\Ker\varphi\) 的基就是 \((\alpha_1e_1,\cdots,\alpha_se_s)\)。

不变子空间

对一个线性变换 \(\varphi\)：

若 \(\varphi(V)\subseteq V\)，称其为 \(\varphi\) 的不变子空间。

于是 \(\Im,\Ker\) 都生成了一个不变子空间。

取一组基 \((e_1,\cdots,e_m)\)，再设 \((e_1,\cdots,e_m)\) 生成了 \(V\) 的一个不变子空间。

于是 \(\varphi_A=\bx A_1&0\\0&A_2\ex\)。

多项式

重因式

多项式 \(f\) 没有重根的充要条件是 \(d(x)=(f(x),f'(x))=1\)。

无论 \(d(x)\) 如何，\(\dfrac{f(x)}{d(x)}\) 总没有重根。

Eisenstein 判别法

对素数 \(p\)，若 \(p|(a_0,\cdots,a_{n-1})\)，且 \(p \nmid a_n, p^2\nmid a_0\)。

则 \(f(x)\) 不可约。

对称多项式

初等对称多项式

\[\sigma_1=\sum_i x_i\\ \sigma_2=\sum_{i<j} x_ix_j\\ \cdots \]

任意的对称多项式 \(f\) 都能用 \(\sigma\) 的组合表示。

取 \(f\) 字典序的首项 \(x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}\)。

我们就能构造 \(g=\sigma_1^{p_1-p_2}\sigma_2^{p_2-p_3}\cdots\sigma_n^{p_n}\)。

\(f'=f-g\) 即可得到一个首项字典序更大的 \(f'\)。

Newton 公式

设 \(s_k=\sum x_i^k\)。

有：

\[\sum_{i=0}^k (-1)^{i}s_i\sigma_{k-i}=0 \]

在这里，认为 $$