CF163A Substring and Subsequence 题解

分析

考虑 DP。

定义状态函数 \(f_{i,j}\) 表示在 \(s[1\dots i]\) 中选一个子串 \(a\)，在 \(t[1 \dots j]\) 中选一个子序列 \(b\)，且 \(s_i,t_j\) 必选时 \(a=b\) 的方案数。则有两种情况：

1. \(s_i \ne t_j\)。此时 \(a\) 和 \(b\) 是不可能相同的了，所以 \(f_{i,j}=0\)。
2. \(s_i = t_j\)。在只选 \(s_i,t_j\) 时有 \(1\) 种方案，而不止选 \(s_i,t_j\) 时根据枚举前一个字符选的位置，有 \(\sum\limits_{k=1}^{j-1} f_{i-1,k}\) 种方案。所以 \(f_{i,j}=1+\sum\limits_{k=1}^{j-1} f_{i-1,k}\)。

整合一下有转移方程：\(f_{i,j}=[s_i=t_j]\times(\sum\limits_{k=1}^{j-1}f_{i-1,k}+1)\)。定义 \(s_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{j} f_{i,k}\)，则有：\(f_{i,j}=[s_i=t_j]\times(s_{i,j-1}+1)\)。这就是个前缀和优化，在更新完 \(f_{i,j}\) 只后直接更新 \(s_{i,j}\) 即可。

答案就是 \(\sum\limits_{i=1}^{|s|}\sum\limits_{j=1}^{|t|}f_{i,j}\)。复杂度 \(O(n^2)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
#define re register
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define gc getchar()
#define rd read()
#define debug() puts("------------")

namespace yzqwq{
	il int read(){
		int x=0,f=1;char ch=gc;
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc;}
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc;
		return x*f;
	}
	il int qmi(int a,int b,int p){
		int ans=1;
		while(b){
			if(b&1) ans=ans*a%p;
			a=a*a%p,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	il auto max(auto a,auto b){return (a>b?a:b);}
	il auto min(auto a,auto b){return (a<b?a:b);}
	il int gcd(int a,int b){
		if(!b) return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	il int lcm(int a,int b){
		return a/gcd(a,b)*b;
	}
	il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if(!b) return x=1,y=0,void(0);
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y,y=t-a/b*x;
		return ;
	}
	mt19937 rnd(time(0));
}
using namespace yzqwq;

const int N=5005,p=1e9+7;
int f[N][N],s[N][N];
char a[N],b[N];
int n,m;

il void solve(){
	scanf("%s",a+1),n=strlen(a+1);
	scanf("%s",b+1),m=strlen(b+1);
	for(re int i=1;i<=n;++i)
	for(re int j=1;j<=m;++j){
		f[i][j]=(long long)((a[i]==b[j])*(s[i-1][j-1]+1))%p;
		s[i][j]=(long long)(s[i][j-1]+f[i][j])%p;
	}
	long long ans=0;
	for(re int i=1;i<=n;++i) ans=(ans+s[i][m])%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return ;
}

signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int t=1;while(t--)
	solve();
	return 0;
}