信息学总结[寒假集训]

寒假总结

FBI Warning:本文只是写给自己备忘的，作者是蒟蒻，有各种错误轻喷

0. 前面的

关于0x00，一些基础的东西，我已经进行了总结，见luogu blog

其他比较重要的东西，比如ST、倍增，我并不比lyd总结的好，还是看书把。

0x01的单调栈，也曾进行了总结。

1. 起点:字符串Hash P67 0x14

字符串hash是一种将字符串映射成一个非负整数的方法，便于参与运算，其发生hash冲突的概率极端小。一个字符串的hash值就几乎可以唯一代表这个字符串。它还支持一些运算性质，从而我们可以进行判等、判子串等操作。

但是，不能用hash值进行大小比较之类的操作（废话）。

常用实现方法：
取值P，将字符串看作P进制数（所以P一定要能囊括整个字符集）。
再取一模数M，求该P进制数对M取模的值作为字符串的Hash。

一般取P=131或13331，取\(M=2^{64}\)。并不进行取模运算，当unsigned long long类型溢出时，相当于自动对M取模。

其余对字符串的操作就可转换成对该P进制数的操作。

2. 字符串和基础数据结构 P70 0x15

2.1 KMP模式匹配

KMP模式匹配是能够高效找出文本串T中与模式串M相等的字串的出现位置。

它的基本优化思想是跳过不可能的无用位置，直接跳到下一个可能处继续匹配，从而减少徒劳的匹配时间。

它的如何选择失配时的下一个位置呢？

考虑暴力算法，当发现不匹配时，暴力算法要放弃当前方案，推进一位后重新匹配。

考虑暴力算法过程中已经计算了的部分，我们已经知道这一部分与字符串中的一部分相等。于是我们选择原字符串中这一段：前缀和真后缀相等的长度i，并令当前匹配长度为这个长度i，相当于我们已经从这个位置匹配了i个，跳过了一步步向前推进模式串的过程。

关于更加详细的实现，请看Link

2.2 最小表示法

见P76，讲的很好。基础思想跟KMP差不多，也是及时排除不可能位置。

2.3 Tire

实现见P77

实际上，他也是排除不可能选项，再每一个字符位置上及时排除其他字符。

你可以在节点上存储额外信息来达到一些目的。

其实，他也不是只能处理字符串，还能处理二进制拆分之类的。

2.4 二叉堆

二叉堆将数据组织到一棵完全二叉树上，使得插入/删除时不必要重新进行整个序列的排序。

-> 应用：霍夫曼树

3. 搜索

搜索算法是计算机解决问题的基本方法

对问题进行求解，实际上是在问题空间对应的状态空间中进行映射和遍历

大部分的算法都是对搜索、暴力的优化。

3.1 树和图基础

书P93

这里不讲，只是附一张有意思的图

3.2 广搜与拓扑排序

广度优先搜索已经在上面的luogu博客里讲过，不在赘述

那么拓扑排序是什么呢？

所以，我认为，拓扑序是某种程度上的节点重要性排序，也就是说，删除拓扑序中的某一个节点，有可能会导致无法从原先入度为0的点访问到后面的节点，但是肯定不会影响前面的节点。

3.3 搜索剪枝

搜索剪枝，是一种剪除搜索树上不必要枝条的手段，通过及时避免不可能产生答案的遍历来优化搜索运行的时间复杂度。

剪枝是有多种实现方案的，我从我常用的角度进行了排序：

1. 最优性剪枝

如果当前代价花费已经大于已经搜到的答案，那么直接剪枝

2. 可行性剪枝

如果当前方案不可行，剪枝

3. 记忆化

记录每个状态的搜索结果，若重复遍历一个状态就直接返回结果。

或者，在某些问题中，如果无法更新状态的答案（即当前代价不优于记录的代价），就直接剪枝。

4. 排除等效冗余
5. 优化搜索顺序

3.4 迭代加深与双向搜索

迭代加深和双向搜索都是避免DFS在深层子树中浪费时间的方法，其实也可以用于BFS，而且在BFS中的应用比在DFS中更加广泛。

粘个图

3.5 广搜变形

• 双端队列、优先队列BFS

其实，普通的BFS可以解决走地图问题中每一步代价都一样的那种问题

但假如代价不一样了呢？

这时候，我们就可以使用双端或优先队列，来进一步区分权值（贪心地）。

例题：
在这题中，如果扩展方向是联通的，那么不费代价，否则要费1的代价。

实际上，优先队列BFS求最短路问题，就是堆优化的Dij

3.6 A&IDA

其实，A*就是多想一步，尽可能早地找到最优解，看起来就像是优化了搜索顺序一样。

同样的，IDA*只是把BFS换成了DFS，并对每次状态还需要的递归步数进行估计，若当前已经走的步数加上估计超过限制就回溯。

3.7 总结

4. 进阶数据结构

4.1 并查集

并查集是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并与查询的数据结构。

采用代表元法，即为每个集合选择一个固定的元素，作为整个集合的代表

已经总结过，戳Link

并查集更擅长维护添加关系，对于删除可以倒着维护。

并查集并不关心并查集的树结构，为提高效率，可以丢弃它们。

4.2 树状数组

树状数组，是通过对区间进行二进制划分，在保证可以取到任意一个区间的前提下，对前缀和信息进行大段维护和访问的一种数据结构。

通过划分数据，来达到前缀和查询复杂度和修改复杂度的平衡。

由于二进制划分的性质，按照访问层序依次从上往下询问和从下往上修改。

图中，红色路径显示了add(5)的路径，黑色路径显示了ask(14)的路径

其中，我们发现ask、add经过的路径恰好是一位一位地减少或增多末尾的一，所以我们用lowbit运算处理刚好

由于是维护前缀和，我们可以通过存储差分数组来进行区间修改（区间查询也可以）

4.3 线段树

给数据区间分成左右两边，在对一整段进行操作时直接对大区间进行操作，并且在递归时只用递归其中一边。（实际上，似乎3进制划分比2进制划分好一点，这是因为3比2更接近e（大雾）

线段树维护的信息一定是需要满足区间可加性的，这是为了方便将左右两边合成大区间。

关于线段树的其他的动态开点之类的，见P220

线段树十分通用，它也很重要，但是思想是比较简单的。

比较重要的其实是比较复杂的打标记和下传，这个都是因题而异的，大家可以去看看 [SHOI2015] 脑洞治疗仪

4.4 分块和莫队

分块算法通过将数据分块，对于区间操作，做到大段维护，局部朴素的维护。所以，我们又可以把它总结为暴力+暴力=分块

实际上，在前面的树状数组和线段树，都是通过不同的分块方式，对数据操作进行优化。

这里有一个对比图：

块长通常是取\(O(\log N)\)

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莫队，实际上是一种排序询问的策略，就是以分块进行询问的分类，再通过块外块内排序，使得询问尽量靠近，接着我们朴素处理询问变化的那些数据，得到一个个询问的答案。

由于需要对询问进行排序，所以该算法是离线的。

但是一个问题通常不会只有询问，还会有修改操作，这时候怎么办呢？

我们可以给莫队升一个时间维，用来表示当前操作是在什么时候进行的，以便我们可以控制更新的位置。

4.5 平衡树

• BST

BST，通过划分关键码来划分数据，这样在查询时就只需要访问一边。
在数据关键码随机的情况下它的期望复杂度就是\(O(\log N)\)。但是BST很容易退化，如果插入一个有序序列，它的复杂度就变成了\(O(n)\)

其实，写到这里，已经可以感受到什么是数据结构的精髓了：

数据结构就是，以某种方法划分信息，使得在操作时容易排除不可能的选项，达到排除不可能或做到时空平衡

所以，为了解决退化问题，以下将BST转换为一棵比较平衡的树的方法，就是平衡树。

• Treap

（Zag同理） 注意，上图有问题，Zig是Pushup(rs(p)),即结束时更新原来p，q对应点的值

Treap，是Heap和Tree这两个单词的合成，这说明了Treap维持树平衡的方法———利用堆性质。

关于它的实现之类的，网上的教程大多数已经把它扒的干干净净了，这里只讲讲它的时间复杂度的一个问题：

对于堆来说，他是完全二叉树的意义在哪里呢？就是保证，树的深度一是\(O(\log N)\)的。

那么，对于Treap，这一样吗？不一样。他首先要保证正确性，肯定是优先要满足BST性质，这个情况下再满足堆性质，所以，一棵Treap不一定是像堆那样的完全二叉树，所以是肯定不是像堆那样完全保证复杂度是\(O(\log N)\)。Treap的优先级是随机赋予的，由于随机数是分布均匀的，才有可能复杂度期望是\(O(\log N)\)，

我觉得这里有一篇博客解释这个问题解释的很不错:

我们在BST中讲过，普通的BST具有很强的不确定性，如果数据特殊，建树的时候可能直接变成一条链。不仅如此，插入删除的时候也很麻烦。因为如果插入或者删除，整个树原来的结构就会被打乱，这会为遍历和查找带来灾难性的后果。

所以我们推出了平衡树。就是通过将树旋转来动态维护这个树形态是平衡的，这样查找的复杂度就是O(log)级别的，是一种稳定的复杂度。

树堆是一种平衡树，它通过为键值（也就是我们需要维护成BST的）赋予优先级，使之也满足堆结构来进行旋转，成为一棵平衡树。

但是我们需要注意一点：树堆的优先级是随机赋予的。也就是说，这个数据结构其实是一个随机化的数据结构。这不是树堆的缺点，因为只有随机化赋予优先级，才有可能保证树堆的复杂度是O(log)的级别。

那么，上述性质也说明了，树堆并不是一个规则形态的二叉树，更不是堆需要满足的完全二叉树。甚至它也不符合平衡树的定义：每个节点左右子树高度相差≤1，所以我们说树堆是近似实现平衡。

但是通过形态定义二叉树的方式并不绝对。我们换一种方式来对平衡树进行定义：

能够保证时间复杂度的BST，就是平衡树。

• FHQ-Treap

FHQ-Treap是Treap的另一种实现形式，不通过旋转来保持平衡，而是通过分裂-合并操作过程中保持平衡，因为他的分裂操作，可以方便地取出想要操作的子树。

这里放两张Gif解释一下Split和Merge的过程：
图源：远航休息栈 - FHQ-Treap

Split

Merge

注意，这个Merge的图有点问题，但是大致过程就是这样，具体详见图源的评论区。

其他的操作，都可以通过按大小分裂或按权值分裂找到操作位置再合并，就十分简单了，同时，也可以选择在节点上存储额外信息来达到其他目的（例题：文艺平衡树）。

具体的可以看OI-wiki（蓝皮书上没有）

• 其他

还有笛卡尔树、替罪羊树这些，不是十分重要，就不专门记录了。

4.6 点分治和CDQ分治

太难了，还是看书把。

4.7 可持久化数据结构

可持久化原意是保存数据集的历史版本，但是如果真的一个个复制，不仅时间开销大，空间更是无法接受。所以，我们只新建被修改的部分，重用之前的节点。

• 可持久化线段树
  
• 可持久化Tire