哈工大算法设计与分析期末试题解析
试题内容来自https://www.cnblogs.com/fyunaru/archive/2019/07/02/11123804.html
本文基于该试题添加了解析，仅供参考
一、判断题（10 * 2 分）
1.A*算法一定可以得到最优解。正确
A*算法定义：
（1）使用最佳优先策略搜索
（2）节点n的代价函数：f(n)=g(n)+h(n)，g(n)是起点到节点n的最短路径代价，h(n)是节点n到目标节点的估计代价
（3）h(n)<=h*(n)，h(n)表示节点n到终点的估计代价，h*(n)表示节点n到终点的实际代价（保证A*算法一定得到最优解的条件）
（4）当选择到的节点是目标节点时，算法停止，返回一个最优解
A*算法代价函数估计公式：f(n)=g(n)+h(n)
g(n)=0时，仅计算任意节点n到目标节点的启发函数，而不计算节点到节点n的最短距离，算法转化为使用贪心策略的最佳优先搜索，速度最快，但可能找不到最优解；
h(n)<=h*(n)时，一定可以求出最优解，h(n)越小，需要计算的节点越多，算法效率越低，常见的启发函数有曼哈顿距离、欧几里得距离等
h(n)=0时，仅计算起点到任意节点n的最短距离，而不计算任何启发函数h(n)，转化为单源最短路径问题，即Dijkstra算法，需要计算最多的节点
2.调试程序可以证明算法的正确性。错误
算法的正确性定义：对于每一个输入都最终停止，而且产生正确的输出
算法的正确性证明：（1）证明算法对所有输入都终止（2）证明对每个输入都产生正确结果
程序调试!=程序正确性证明：程序调试只能证明程序有错，不能证明程序无错误
循环不变量方法：证明主要结构是循环结构的算法的正确性
3.dijkstra算法是贪心算法。
算法维护两个顶点集合S和Q。集合S保留所有已知实际最短路径值的顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。
集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。
当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对u的每条外接边w(u,v)进行松弛。
4.如果一个基于比较的排序算法的时间复杂性是Ω（nlogn),那么他可能是基于比较算法中时间复杂性最低的算法。正确
假设需要排序的数有N个，N个数有N!种不同的排序情况，即基于比较的排序算法的判定树有N!个叶子节点。
比较次数最少为log(N!)=O(NlogN)
5.一个关于堆排序的插入和删除操作的时间复杂性的问题。（具体怎么问忘了）
原地堆排序：
（1）创建一个堆H[0:n]
（2）把堆首与堆尾互换
（3）把堆的尺寸减1，并调用堆调整，将新的堆顶端元素调到合适位置
（4）不断重复（2）（3）两个步骤，直到堆的尺寸为1
堆的插入操作：将新元素插入堆尾，已知新元素的父节点到根节点是一个有序的序列，将新元素插入到该序列中，可以视为直接插入排序。（时间复杂度O(logn)）
堆的删除操作：将堆顶元素与堆尾元素调换位置；堆尺寸减1，对新堆进行堆调整。（时间复杂度O(logn)）
6.一个问KMP算法的时间复杂性的问题。
KMP算法可在一个主文本字符串S内查找一个词W（或称模式串）的出现位置
如果文本串的长度为 n，模式串的长度为 m，那么匹配过程的时间复杂度为 O(n)，算上计算 next 的 O(m) 时间，KMP 的整体时间复杂度为 O(m + n)
二、简答题（5 * 4分）
1.一个master定理的题目（很类似于ppt上的一道例题）应该是T(n) = 3T(n/4) + n^(1/2)
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%AE%9A%E7%90%86
a=3,b=4
f(n)=n^(1/2) = O(n^(log_4(3-1)))，符合情形一的情况
T(n)=Theta(n^(log_4(3)))
2.一个非常简单的复杂函数阶的证明，已知fx = O(g(x)), gx = o(hx),证明 fx = o(hx)
证明：
f(x)=O(g(x)) => 对于任意的c1,c2>0，x > x0时，c1*g(x) <= f(x) <= c2*g(x)
g(x)=o(h(x)) => 对于任意的c>0，x > x1时，g(x) < c*h(x)
当x>max(x0,x1)时，f(x) <= c2*g(x) => f(x) < c2*c*h(x) = C*h(x)，其中C=c2*c
因此f(x) = o(h(x))
3.写出0-1背包问题的输入规模和时间复杂性
输入：C>0, w_i>0, v_i>0, 1<=i<=n
输出：(x_1,x_2,...,x_n), x_i in {0, 1}，满足sum_{1=<i<=n}w_i*x_i<=C}，
输入规模：一个问题的输入规模是保存输入数据所需要的bit位数。
输入规模：x = logC
动态规划解法：设dp[i][j]代表从0-i中挑选一些整数，每个物品只能使用一次，是否能够恰好填满容量为j的背包
for i = 1 to n:
for j = 0 to C:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
if nums[i] == j:
dp[i][j]=True
continue
if nums[i] < j:
dp[i][j]=dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i]]
标准多项式时间复杂度：对于一个问题，在输入规模为x的情况下，如果一个算法能够在O(x^k)时间内解决此问题，则我们称此算法是多项式时间的，其中k为一常数。
动态规划解法时间复杂度：O(nC) = O(n*(2^x))
传统时间复杂度与标准时间复杂度对比
相似：图论、链表、数组、树等问题
不同：数论问题（例如素数判定算法，传统时间复杂度O(n)，输入规模x=logn，标准时间复杂度O(2^x)）
若一个算法的传统时间复杂度为多项式的，但标准时间复杂度不是多项式的，则算法为伪多项式时间复杂度算法
4.说明平摊分析的目的，以及任举一种平摊分析方法说明其大致思想，以及使用时需要注意的点
三、（8分）
一个最大流的问题，给了一个最大流的图‘
第一问要求画出某一步之后的余图
第二问要求找出一条可以使流量增加1的増广路径
第三问要求给出一个最小割
图（a）为一个流网络，图（b）展示了它的余图
符号定义：flow(a)代表边a的流量，c(a)代表边a的容量，s-t路径是指从起点s通往目标点t的任意一条路径
余图：余图（residual graph）的顶点和原图一样，如上图右所示，它包含两类弧：（1）原图的未饱和弧；（2）原图flow(a)>0的弧的反向弧。
增广路径：一条满足flow(a)<c(a)弧构成的s-t路径，上图（b）中s-v2-v3-t，容量为4的路径即为增广路径
流网络的割：流网络G中的一个割(S, T)将结点集合V划分为S和T=V-S两个集合，满足s in S，t in T
推论：流与割的弱对偶关系
给定流网络 G＝(V,E),s是源,t是汇. 设f是G上的一个流，S,T是G的任意一个割，则f(S,T)=|f|.
给定流网络 G＝(V,E). 设f是G上的一个流，(S,T)是G的任意一个割，则|f| <= c(S,T)
最小割：任意流不大于任意割，最大流等于最小割。
最大流算法（Ford-Fulkerson算法）：
（1）建立原图流为0的余图；
（2）在余图中找出任意的s-t路径，并按该路径找出原图允许的最大流K：
- 最大流K根据弧的容量减去已有的流；
- 对余图的正向弧，原图的流加上K；
- 对余图的反向弧，原图的流减去K。
（3）更新余图，重复上述过程，直到余图不存在s-t路径。
5分钟看懂Ford-Fulkerson算法：https://www.youtube.com/watch?v=Tl90tNtKvxs
四、（7分）
给出一个加权有向图，要求用A*算法把整个过程写一遍，并给出最后所得的最短路径。
A*算法的通俗介绍（https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html）
将加权有向图转为解空间树，逐步写出当前节点的拓展节点的g(n)、h(n)、f(n)并标在图的节点旁边
五、（20分）
分治算法的题，是作业题上的一道原题。
原题如下：
第一问写出算法思想
第二问写伪代码
第三问分析时间复杂度
算法思想：
首先利用O(nlogn)的排序算法对S进行排序；
然后循环遍历S的每一个元素S[i]，利用二分查找判断S中是否包含x-S[i]，该步二分查找复杂度为O(logn)，因此循环复杂度为O(nlogn)
综上算法的整体复杂度为O(nlogn)
六、（15分）
贪心算法的题。（这道题我真是无力吐槽，考场上没看懂怎么写，考完之后问了几个同学都说贪心思想和算法随便写的，且每个人写的都不一样，后来问老师那个题怎么写，老师说只要言之有理都算对，，，）
题目大概写一下吧，反正我觉得这题出的真差，你们复习的时候可以自己找点别的贪心算法的题做。
有一条环形公路，公路上有n个加油站，一辆油箱容量无限大的汽车在这条路上行驶，每个加油站所能给车加的最大油量为si，车在每两个加油站之间行驶耗得油为ci。要求写出一个贪心算法，让这个车选择一个加油站作为起始点，能够成功绕这个环形公路一圈并回到起始点，如果没有这样的加油站，则返回-1，有则返回所选择的起始加油站的编号。
第一问写贪心思想
第二问证明贪心思想
第三问伪代码
第四问时间复杂度
贪心思想：
贪心思想的证明：
七、（10分）
动态规划的题。比较简单，多做几道动态规划的题应该就可以做出来了。
题目大致如下：
给定如图所示的一个树状图，每个节点上都标有该点权值，该树共有5层，从第一层的节点进入，从第五层的节点出来，要求找出一条长为4（即通过了5个节点）的路径，使得该条路径所经过的5个节点和最小。
图像大致如下：
