图总结

一、思维导图

二、重要概念

1、 定义：
图（graph）：图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中的顶点的集合，E是图G中边的集合。
2、 基本术语
假设图中有n个顶点，e条边，
则含有e=n(n-1)/2条边的无向图称作完全图；
含有e=n(n-1)条弧的有向图称作有向完全图；
若边或弧的个数e<nlogn，则称作稀疏图，否则称作稠密图。
权（Weight）：与图的边或弧相关的数。
网（Network）：带权的图。
子图（Subgraph）：假设G=（V,{E}）和G‘=（V',{E'}），如果V'包含于V且E'包含于E，则称G'为G的子图。
度（TD）、入度（ID）、出度（OD）
顶点的出度:以顶点v为弧尾的弧的数目；
顶点的入度:以顶点v为弧头的弧的数目。
顶点的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)；
路径、路径长度、回路
设图G=(V,{VR})中的一个顶点序列{u=vi,0,vi,1,…,vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR，1≤j≤m，则称从顶点u到顶点w之间存在一条路径。
路径的长度：路径上的边或有向边(弧)的数目。
简单路径：在一条路径中，没有重复相同的顶点；
回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
简单回路(简单环)：在一个回路中，若除第一个与最后一个顶点外，其余顶点不重复出现。
连通图、强连通图、生成树
若图G中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图；
若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量。
若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量
对有向图来说，
若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图。
否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。
生成树
假设一个连通图有n个顶点和e条边，其中n-1条边和n个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图的生成树。
对非连通图，则称由各个连通分量的生成树的集合为此非连通图的生成森林。
3、 图的存储结构
邻接矩阵
邻接矩阵存储（存所有边，若不带权则不存在的边包括自己到自己表示为0、若带权则表示为∞）
无向图的邻接矩阵是个对称阵，可以用矩阵的压缩存储。

邻接表存储（存顶点和邻接的边）：顺序存储与链式存储相结合。（顶点节点、边节点）
无向图邻接表中顶点节点、边节点数分别为n、2e，有向图的则分别为n、e。故无向图邻接表边节点数为偶数，若边节点数为奇数则为有向图。
有向图 第i行非0元素的个数（邻接矩阵存储）或第i个链表边节点的个数（邻接表存储） 等于该节点的出度OD，所有行非0元素个数和或所有链表边节点个数和等于边数e。
无向图 第i行非0元素的个数（邻接矩阵存储）或第i个链表边节点的个数（邻接表存储） 等于该节点的度TD，所有行非0元素个数和或所有链表边节点个数和等于两倍边数2e。
4、 图的遍历
DFS（深度优先搜索）
深度优先搜索遍历连接图的过程类似树的先根遍历。
深度优先遍历图的实质：对每个顶点查找其邻接点的过程。

void DFSTravse(MyGraph& G, int v)    //深度遍历
{
	int i;
	cout << G.vexs[v] << " ";
	G.visited[v] = 1;
	for (i = 0; i < G.vexNum; i++)
	{
		if (G.arcs[v][i]) {
			if (G.visited[i] == 0) 
				DFSTravse(G, i);
		}
	}
}

BFS(广度优先搜索)
广度优先遍历的实质：通过边或弧找邻接点的过程。

void BFSTravse(MyGraph& G, int v)    //广度遍历
{
	queue<int>q;
	G.visited[v] = 1;
	q.push(v);
	while (!q.empty()) 
	{
		int k = q.front();
		q.pop();
		cout << G.vexs[k] << " ";
		for (int i = 0; i < G.vexNum; i++)
		{
			if (G.arcs[k][i] != 0 && G.visited[i] == 0){
				q.push(i);
				G.visited[i] = 1;
		
	}
		}
	}
}

5、 最小生成树
普里姆（prim）算法：
基本思想：
（1）取图中任意一个顶点v作为生成树的根。
（2）往生成树上添加新的顶点w。在添加的顶点w和已经在生成树上的顶点v之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点v和w之间的边中取值最小。
（3）继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有n个顶点为止。
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
基本思想：
（1）构造一个只含n个顶点的子图SG。
（2）从权值最小的边开始，若他的添加不使SG中产生回路，则在SG上增加这条边
（3）如此重复，直至加上n-1条边为止。
比较两种算法：
普里姆算法：o（n的平方）适用于稠密图。
克鲁斯卡尔算法：适用于稀疏图。
注：
构造的最小生成树不一定唯一，但最小生成树的权值之和一定相同。
6、 最短路径
Dijkstra算法
这是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。时间复杂度为O(n2)。
算法实现：

void ShortesPath_DIJ(AMGraph G, int v0) {
	n = G.vexnum;
	for (v = 0; v < n; ++v) {
		s[v] = false;//s初始值为空集
		D[v] = G.arcs[v0][v];//v0到各个顶点的弧的权值
		if (D[v] < MaxInt)
			Path[v] = v0;//v0和v之间有弧
		else Path[v] = -1;//v0和v之间无弧
	}
	S[v0] = true;//v0加入S；
	D[v] = 0;//源点到源点距离为0；
}

弗洛伊德算法(Floyd)
比较经过顶点的权值，如果经过的顶点路径比原两点间的路径更短，将当前两点间的权值设为更小的一个。时间复杂度为O(n3)。

7、 拓扑排序 AOV网 AOE网
拓扑排序：按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶电，则可以人为加上任意的次序关系。由次得到顶点的线性序列称为拓扑有序序列。
AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图。
注：
（1）AOV网中不应该出现有向环。
（2）对给定的AOV网需先判断网中是否有环。
如何进行拓扑排序：
（1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之。
（2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧。
（3）重复上述两步，直至图空，或者图不空但找到无前驱的顶点为止。

关键路径
整个工程的完成时间：从有向图的源点到汇点的最长路径。
关键活动：该弧上的权值增加将使有向图上的最长路径的长度增加。
顶点表示事件；弧表示活动。
事件vi的最早发生时间：从开始点v1到vi的最长路径长度。
事件vi的最迟发生时间：在不推迟整个工期的前提下，事件vi允许发生的最晚时间

三、疑难问题及解决

7-1 图着色问题

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
vector<vector<int>>G(501);
int color[501] = { 0 };
bool check(int V)
{
    for (int i = 1; i <= V; i++)
        for (int j = 0; j < G[i].size(); j++)
            if (color[i] == color[G[i][j]])
                return false;
    return true;
}
int main()
{
    int V, E, K, N;
    cin >> V >> E >> K;
    for (int i = 0; i < E; i++)
    {
        int start, end;
        cin >> start >> end;
        G[start].push_back(end);
        G[end].push_back(start);
    }
    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        set<int>color_kind;
        for (int j = 1; j <=V; j++)
        {
            cin >> color[j];
            color_kind.insert(color[j]);
        }
        if (check(V) && color_kind.size() == K)
            cout << "Yes" << endl;
        else
            cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

解决方案：
一开始连题目意思都不清楚，在老师的讲解下逐渐明白题目的思路及要点，然后逐渐写出；

四、总结

遇到问题一开始不懂可以先写思路，然后再写伪代码，再逐步完成代码；