MP 及OMP算法解析

转载自http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/18655239

1，MP算法【盗用2】

MP算法是一种贪心算法（greedy），每次迭代选取与当前样本残差最接近的原子，直至残差满足一定条件。 

求解方法

选择最接近残差的原子：MP里定义用向量内积原子与残差的距离，我们用R表示残差，di表示原子，则：

Max[Dist(R,di)]=max[<R,di>];

残差更新：R=R-<R,di>I;继续选择下一个，直至收敛； 

需要注意的是，MP算法中要求字典原子||di||=1,上面的公式才成立。

我们用二维空间上的向量来表示，用如下的图来表述上面的过程：

 

上图中d1,d2,d3表示归一化的原子，红色向量r表示当前残差；

进过内积计算，<r,d3>最大，于是r分解为d3方向以及垂直于d3方向的两个向量(<r,d3>d3及r-<r,d3>d3)，把d3方向的分量（<r,d3>d3）加入到已经求得的重构项中，那么绿色向量（r-<r,d3>d3）变为新的残差。然后迭代即可。

再一轮迭代得到如下：

 

R往d1方向投影分解，绿色向量成为新的残差。 

具体算法： 

 

收敛性

从上面的向量图我们可以清楚地看出，k+1的残差Rk+1是k步残差Rk的分量。根据直角三角形斜边大于直角边，|Rk+1|<=|Rk|，则算法收敛。 

注意事项：

1.上面也讲过，字典的原子是归一化的，也就是||di||=1，因为我们选取max<R,di>时，如果di长度不统一，不能得出最好的投影。

2.如果我们的字典只有两个向量d1,d2,那么MP算法会在这两个向量间交叉迭代投影，也就是f=a1d1+a2d2+a3d1+a4d2+…..;也就是之前投影过的原子方向，之后还有可能投影（即原子有可能再次被选择）。换句话说，MP的方向选择不是最优的，是次优的。

如下图：

这也是其改进版本OMP要改进的地方。

2，什么是OMP算法

OMP算法的改进之处在于：在分解的每一步对所选择的全部原子进行正交化处理，这使得在精度要求相同的情况下，OMP算法的收敛速度更快。

在正交匹配追踪OMP中，残差是总与已经选择过的原子正交的。这意味着一个原子不会被选择两次，结果会在有限的几步收敛。另外还可以选择弱匹配追踪（后话）【3】。

MP算法的次最优性来源其残差只与当前投影方向垂直，这样在接下来的投影中，很有可能会再次投影到原来的方向。

于是，在投影时，如果我们使得残差Rk+1与x1-xk+1的所有向量垂直，则可以克服这个问题，如下： 

  

求解方法

假设我们已经得到了第k步的最优解：

 

我们要继续更新到第k+1步，目标是得到：

 

需要注意的是，我们下一步更新时，之前原子的系数 也要更新，否则不能满足约束。

于是我们需要求得如何更新之前原子系数 ，以及如何求得下一个投影方向 。 

 

收敛性：

同样根据勾股定理，得到如下：

 于是算法收敛。 

具体步骤：

最后，贴一个sparse求解的工具包，里面包含了MP，OMP算法的代码

http://spams-devel.gforge.inria.fr/

 

参考文献

【1】http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955   MP和OMP算法及其思想

【2】http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/18655239  稀疏编码最优化解法

【3】https://chunqiu.blog.ustc.edu.cn/?p=634  有讲到弱匹配追踪