[BZOJ4709][JSOI2011]柠檬 决策单调性优化dp
题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709
我好弱啊QAQ，网上dalao们的题解根本看不懂啊，折腾了几个小时，有一点明白了。
首先要把朴素dp方程退出来。
①题目中说每次从序列的左右选一端取，但是如果你真的照着题目说的这样做我也不知道会怎么样。事实上很明显不管怎么取，最终答案都只跟划分出的是哪几个区间有关。所以不妨从左端开始取。
②如果取一个区间，区间第一个贝壳的大小和最后一个贝壳的大小不一样，那么很明显可以去掉第一个或最后一个贝壳，把他们加入另一个区间贡献答案，而这一次选取的区间本身答案不会变。于是我们每次取一段区间都可以贪心地来取，使得第一个贝壳和最后一个贝壳大小一定相同。
有了这两个准则方程很容易就出来了$$f[i]=max\{f[j-1]+a[i]*(s[i]-s[j]+1)^2\}$$
其中$s[i]$表示直到第$i$个数$a[i]$出现的次数。
考虑这个式子中的单调性，可以发现$s[i]$是递增的也就是说$(s[i]-s[j]+1)^2$会增大，而且会增大地越来越快。这就说明如果之前有一个$k<j$满足$k$更优，则$k$会永远比$j$更优。
于是对于每一个$a[i]$可以用一个单调栈维护，当栈顶第二个元素比第一个元素更优时，弹出就行了，直到结束时，取栈顶元素作为决策。（不弹出）
但是这样还有一个问题，可以发现，在某些情况下，可能会出现第二个元素劣于第一个元素，但是却第三个元素优于第一个元素，怎么办呢？
对于任意的$j1<j2<i1<i2$，想一想可以发现如果$j1$超过$i1$的时间小于$j2$超过$i1$的时间，那么$j1$超过$i2$的时间也一定比$j2$超过$i2$的时间早。对于求某一个$j$超过$k$的时间，可以用二分来求。这个时候方法就出来了，在将$i$压入栈之前，我们先判断第二个元素超过$i$的时间是否小于第一个元素超过$i$的时间，如果是就弹栈，直到不满足条件，将$i$压入栈中。
这样做就满足了每一个元素超过上一个元素的时间也是单调的。
1 /************************************************************** 2 Problem: 4709 3 User: C20161009 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:444 ms 7 Memory:3024 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include<cstdio> 11 #include<cstring> 12 #include<algorithm> 13 #include<vector> 14 using namespace std; 15 typedef long long ll; 16 int inline readint(){ 17 int Num;char ch; 18 while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');Num=ch-'0'; 19 while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') Num=Num*10+ch-'0'; 20 return Num; 21 } 22 ll f[100010]; 23 int n,a[100010]; 24 int cnt[100010],s[100010]; 25 vector <int> sta[10010]; 26 ll inline cal(int x,int y){ 27 return f[x-1]+(ll)a[x]*y*y; 28 } 29 int beyond(int x,int y){ 30 int l=1,r=n,ret=n+1; 31 while(l<=r){ 32 int mid=l+r>>1; 33 if(cal(x,mid-s[x]+1)>=cal(y,mid-s[y]+1)){ 34 ret=mid; 35 r=mid-1; 36 } 37 else l=mid+1; 38 } 39 return ret; 40 } 41 int main(){ 42 n=readint(); 43 for(int i=1;i<=n;i++){ 44 int x=readint(); 45 a[i]=x; 46 s[i]=++cnt[x]; 47 while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=beyond(sta[x][sta[x].size()-1],i)) sta[x].pop_back(); 48 sta[x].push_back(i); 49 while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=s[i]) sta[x].pop_back(); 50 f[i]=cal(sta[x][sta[x].size()-1],s[i]-s[sta[x][sta[x].size()-1]]+1); 51 } 52 printf("%lld\n",f[n]); 53 return 0; 54 }
