Python数学建模系列（二）：规划问题之整数规划
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前言
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标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
初学Python 小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
题不在多 学一题 懂一题
知其然 知其所以然！
本文仅从Pyhton如何解决建模问题出发
未对建模思路等进行深一步探索
推荐（排版简洁 适合阅读）
https://mp.weixin.qq.com/s/O7YIWsJZY6rWfbqsjcv88g
整数规划
整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外增加了部分变量为整数的约束
整数规划求解的基本框架是分支定界法，首先去除整数约束得到"松弛模型"。使用线性规划的方法求解。
若有某个变量不是整数，在松弛模型.上分别添加约束:x≤floor(A)和x≥ceil(A)，然后再分别求解，这个过程叫做分支。当节点求解结果中所有变量都是整数时。停止分支。这样不断迭代，形成了一颗树。
所谓定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass,不再进行分支了;每次新产生叶子节点，则更新下界。
例题
求\(min \quad z = 3x_1 + 4x_2 + x_3\) 的最小值
方法一：分支定界法（使用scipy库）
Demo代码
# 运行环境：Vs Code
import math
from scipy.optimize import linprog
import sys
def integerPro(c, A, b, Aeq, beq,t=1.0E-8):
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
bestVal = sys.maxsize
bestX = res.x
if not(type(res.x) is float or res.status != 0):
bestVal = sum([x*y for x,y in zip(c, bestX)])
if all(((x-math.floor(x))<=t or (math.ceil(x)-x)<=t) for x in bestX):
return (bestVal,bestX)
else:
ind = [i for i, x in enumerate(bestX) if (x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]
newCon1 = [0]*len(A[0])
newCon2 = [0]*len(A[0])
newCon1[ind] = -1
newCon2[ind] = 1
newA1 = A.copy()
newA2 = A.copy()
newA1.append(newCon1)
newA2.append(newCon2)
newB1 = b.copy()
newB2 = b.copy()
newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))
newB2.append(math.floor(bestX[ind]))
r1 = integerPro(c, newA1, newB1, Aeq, beq)
r2 = integerPro(c, newA2, newB2, Aeq, beq)
if r1[0] < r2[0]:
return r1
else:
return r2
c = [3,4,1]
A = [[-1,-6,-2],[-2,0,0]]
b = [-5,-3]
Aeq = [[0,0,0]]
beq = [0]
print(integerPro(c, A, b, Aeq, beq))
运行结果
(8.000000000001586, array([2., 0., 2.]))
# 或者
(8.000000000001586, array([2.00000000e+00, 1.83247535e-13, 2.00000000e+00]))
方法二：使用pulp库进行求解
只需要在设置变量的时候
设置参数cat='Integer' 即可
- Continuous：连续
- Binary：0 或 1
- Integer：整数
Demo代码
import pulp as pp
# 参数设置
c = [3,4,1] #目标函数未知数前的系数
A_gq = [[1,6,2],[2,0,0]] # 大于等于式子 未知数前的系数集合 二维数组
b_gq = [5,3] # 大于等于式子右边的数值 一维数组
# 确定最大最小化问题，当前确定的是最小化问题
m = pp.LpProblem(sense=pp.LpMinimize)
# 定义三个变量放到列表中 生成x1 x2 x3
x = [pp.LpVariable(f'x{i}',lowBound=0,cat='Integer') for i in [1,2,3]]
# 定义目标函数，并将目标函数加入求解的问题中
m += pp.lpDot(c,x) # lpDot 用于计算点积
# 设置比较条件
for i in range(len(A_gq)):# 大于等于
m += (pp.lpDot(A_gq[i],x) >= b_gq[i])
# 求解
m.solve()
# 输出结果
print(f'优化结果：{pp.value(m.objective)}')
print(f'参数取值：{[pp.value(var) for var in x]}')
运行结果
优化结果：8.0
参数取值：[2.0, 0.0, 2.0]
结语
学习来源：B站及其课堂PPT，对其中代码进行了复现
链接：https://www.bilibili.com/video/BV12h411d7Dm?from=search&seid=5685064698782810720
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
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